Bài 59 sách giải tích 12 nâng cao trang 117

Tính giá trị gần đúng đạo hàm của mỗi hàm số sau tại điểm đã cho (chính xác đến hàng phần trăm):

LG a

\(y = {\log _3}\left( {\sin x} \right)\) tại \(x = {\pi  \over 4}\,;\) 

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức \(\left( {{{\log }_a}u} \right)' = \frac{{u'}}{{u\ln a}}\)

Lời giải chi tiết:

\(y' = \frac{{\left( {\sin x} \right)'}}{{\sin x\ln 3}} = \frac{{\cos x}}{{\sin x\ln 3}}\)

\( = {{\cos x} \over {\sin x}}.{1 \over {\ln 3}} = {{\cot x} \over {\ln 3}}\)

\(y'\left( {{\pi  \over 4}} \right)  = \frac{{\cot \frac{\pi }{4}}}{{\ln 3}} = \frac{1}{{\ln 3}}\approx 0,91\)

LG b

\(y = {{{2^x}} \over {{x^2}}}\) tại \(x = 1\)

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức đạo hàm của một thương \(\left( {\frac{u}{v}} \right)' = \frac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}\)

Công thức đạo hàm hàm mũ \(\left( {{a^u}} \right)' = u'{a^u}\ln a\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}
y' = \left( {\frac{{{2^x}}}{{{x^2}}}} \right)' = \frac{{\left( {{2^x}} \right)'{x^2} - {2^x}.\left( {{x^2}} \right)'}}{{{{\left( {{x^2}} \right)}^2}}}\\
= \frac{{{2^x}\ln 2.{x^2} - {2^x}.2x}}{{{x^4}}}\\
= \frac{{x{{.2}^x}\left( {x\ln 2 - 2} \right)}}{{{x^4}}}\\
= \frac{{{2^x}\left( {x\ln 2 - 2} \right)}}{{{x^3}}}\\
y'\left( 1 \right) = \frac{{{2^1}.\left( {1.\ln 2 - 2} \right)}}{{{1^3}}}\\
= 2\left( {\ln 2 - 2} \right) \approx - 2,61
\end{array}\)