Bài 54 trang 50 SGK giải tích 12 nâng cao

LG a

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số \(y = 1 - {1 \over {x + 1}}\)

Lời giải chi tiết:

\(y =f(x)= {x \over {x + 1}}\)
TXĐ: \(D = R\backslash \left\{ { - 1} \right\}\)
Tiệm cận đứng \(x = -1\) vì 

\(\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} \frac{x}{{x + 1}} = + \infty \\
\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} \frac{x}{{x + 1}} = - \infty
\end{array}\)

Tiệm cận ngang \(y = 1\) vì:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \frac{x}{{x + 1}} = 1\)

\(y' = {1 \over {{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} > 0\) với mọi \(x \ne  - 1\) nên hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;-1} \right)\) và \(\left( {-1; + \infty } \right)\)

Điểm đặc biệt 

\(\eqalign{
& x = 0 \Rightarrow y = 0 \cr 
& x = 1 \Rightarrow y = {1 \over 2} \cr} \)

Đồ thị nhận \(I(-1;1)\) làm tâm đối xứng.

LG b

Từ đồ thị \((H)\) suy ra cách vẽ đồ thị của hàm số \(y = -1 + {1 \over {x + 1}}\)

Lời giải chi tiết:

Ta có \(y =  - 1 + {1 \over {x + 1}} = {{ - x} \over {x + 1}}=-f(x)\)

Do đó đồ thị của hàm số \(y =  - 1 + {1 \over {x + 1}}\) là hình đối xứng của \((H)\) qua trục hoành.