Bài 51 trang 49 SGK giải tích 12 nâng cao

LG a

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: \(y = {{2{x^2} + 5x + 4} \over {x + 2}}\)

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D =\mathbb R\backslash \left\{ { - 2} \right\}\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ + }} y =  + \infty ;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ - }} y =  - \infty \) nên \(x = -2\) là tiệm cận đứng.

Ta có: \(y = 2x + 1 + {2 \over {x + 2}}\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \left[ {y - \left( {2x + 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } {2 \over {x + 2}} = 0\) nên \(y = 2x + 1\) là tiệm cận xiên

\(\eqalign{
& y' = 2 - {2 \over {{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} \cr&= {{2\left[ {{{\left( {x + 2} \right)}^2} - 1} \right]} \over {{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} \cr&= {{2\left( {x + 1} \right)\left( {x + 3} \right)} \over {{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} \cr 
& y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = - 1;\,\,y\left( { - 1} \right) = 1 \hfill \cr 
x = - 3;\,\,y\left( { - 3} \right) = - 7 \hfill \cr} \right. \cr} \)

Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞; -3) và (-1; +∞)

Hàm số nghịch biến trên (-3; -2)và (-2; -1)

y_CĐ=y(-3)=-7

y_CT=y(-1)=1

Đồ thị:

+) Giao với Oy là A(0; 2)

+) Đi qua B(-1;1)

LG b

Chứng minh rằng giao điểm \(I\) của đường tiệm cận của đồ thị là tâm đối xứng của đồ thị.

Lời giải chi tiết:

Giao điểm hai đường tiệm cận của đồ thị là nghiệm của hệ.

\(\left\{ \matrix{
x = - 2 \hfill \cr 
y = 2x + 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = - 2 \hfill \cr 
y = - 3 \hfill \cr} \right.\)

Vậy \(I\left( { - 2; - 3} \right)\)
Công thức đổi trục tọa độ theo véc tơ \(\overrightarrow {OI} \) là

\(\left\{ \matrix{
x = X - 2 \hfill \cr 
y = Y - 3 \hfill \cr} \right.\)

Ta có:

\(\eqalign{
& Y - 3 = 2(X - 2) + 1 + {2 \over {X - 2 + 2}} \cr 
& \Leftrightarrow Y - 3 = 2X - 4 + 1 + {2 \over X} \cr 
& \Leftrightarrow Y = 2X + {2 \over X} \cr} \)

Hàm số là hàm số lẻ nên đồ thị của hàm số nhận gốc \(I\) làm tâm đối xứng.

LG c

Tùy theo các giá trị của \(m\), hãy biện luận số nghiệm của phương trình:

\({{2{x^2} + 5x + 4} \over {x + 2}} + m = 0\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \({{2{x^2} + 5x + 4} \over {x + 2}} + m = 0 \Leftrightarrow {{2{x^2} + 5x + 4} \over {x + 2}} =  - m\)
Số nghiệm của phương trình chính là số giao điểm của đồ thị \((C)\) hàm số và đường thẳng \(y = -m\).
Dựa vào đồ thị ta có:
+) \(- m< -7\) hoặc \(–m>1\) \( \Leftrightarrow m > 7\) hoặc \(m< -1\) : phương trình có \(2\) nghiệm;
+) \(-m=-7\) hoặc \(–m = 1  \Leftrightarrow  m = 7\) hoặc \(m = -1\): phương trình có \(1\) nghiệm;
+) \(- 7<m< 1  \Leftrightarrow  -1 < m < 7\): phương trình vô nghiệm.

Kết luận:

+) m < -1 hoặc m > 7 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

+) m=-1 hoặc m=7 thì phương trình có 1 nghiệm.

+) \( -1 < m < 7\) thì phương trình vô nghiệm.