Bài 51 trang 135 SGK Đại số 10 nâng cao

Tìm các giá trị của m để mỗi biểu thức sau luôn âm.

LG a

\( - {x^2} + 2m\sqrt 2 x - 2{m^2} - 1\)

Phương pháp giải:

\(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c < 0,\forall x\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a < 0\\
\Delta < 0
\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết:

Vì \(a = -1 < 0\) nên:

\(\eqalign{
& - {x^2} + 2m\sqrt 2 x - 2{m^2} - 1 < 0\,\forall x \in R \cr 
& \Leftrightarrow \Delta ' = 2{m^2} - (2{m^2} + 1) < 0 \cr 
& \Leftrightarrow - 1 < 0 \cr} \)

Ta thấy điều suy ra luôn đúng

Vậy với mọi m thì \( - {x^2} + 2m\sqrt 2 x - 2{m^2} - 1 < 0; ∀x ∈\mathbb R \)

LG b

\(\left( {m - 2} \right){\rm{ }}{x^2} - {\rm{ }}2\left( {m - 3} \right)x{\rm{ }} + {\rm{ }}m{\rm{ }}-{\rm{ }}1\)

Phương pháp giải:

Xét hai trường hợp a = 0 và a < 0.

Lời giải chi tiết:

Đặt \(f(x) = \left( {m - 2} \right){\rm{ }}{x^2} - {\rm{ }}2\left( {m - 3} \right)x{\rm{ }} + {\rm{ }}m{\rm{ }}-{\rm{ }}1\)

+ Với \(m = 2\) thì \(f(x) = 2x + 1 < 0\) \( \Leftrightarrow x <  - \frac{1}{2}\)

Nên m = 2 không thỏa mãn điều kiện yêu cầu bài toán

+ Với \(m ≠ 2\) thì: \(f(x) < 0, ∀x ∈\mathbb R \)

\(\eqalign{
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
a < 0 \hfill \cr 
\Delta ' < 0 \hfill \cr} \right.\cr& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
m - 2 < 0 \hfill \cr 
{(m - 3)^2} - (m - 2)(m - 1) < 0 \hfill \cr} \right. \cr 
&\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 2\\\left( {{m^2} - 6m + 9} \right) - \left( {{m^2} - 3m + 2} \right) < 0\end{array} \right.\cr &\Leftrightarrow \left\{ \matrix{m < 2 \hfill \cr - 3m + 7 < 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{m < 2 \hfill \cr m > {7 \over 3} \hfill \cr} \right. \cr} \)

Ta không tìm được m thỏa mãn hệ thức trên

Do đó, không có giá trị nào của m để \(f(x) < 0; ∀x ∈\mathbb R\)