Bài 50 trang 135 SGK Đại số 10 nâng cao

Tìm các giá trị của m để mỗi biểu thức sau luôn dương:

LG a

(m²+2)x² - 2(m+1)x + 1

Phương pháp giải:

Tam thức 

\(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c > 0\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a > 0\\
\Delta < 0
\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết:

Vì m² + 2 > 0 nên:

(m²+2)x² - 2(m+1)x + 1 > 0 ∀x ∈ R

⇔ Δ’ = (m + 1)² – (m² + 2) < 0

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow {m^2} + 2m + 1 - {m^2} - 2 < 0\\
\Leftrightarrow 2m - 1 < 0
\end{array}\)

\( \Leftrightarrow m < {1 \over 2}\)

Vậy với \(m < {1 \over 2}\) thì (m²+2)x² - 2(m+1)x + 1 > 0 ∀ x ∈ R

LG b

(m+2)x² + 2(m+2)x + m + 3

Phương pháp giải:

Xét hai trường hợp a = 0 và a > 0.

Lời giải chi tiết:

Với \(m = -2\) thì ta có: \(f(x) = 1 >0, ∀x ∈\mathbb R\)

Với \(m ≠ -2\) ta có: \(f(x) > 0, ∀x ∈ R\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
a > 0 \hfill \cr 
\Delta ' < 0 \hfill \cr} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
m + 2 > 0 \hfill \cr 
{(m + 2)^2} - (m + 2)(m + 3) < 0 \hfill \cr} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m > - 2\\
{m^2} + 4m + 4 - \left( {{m^2} + 5m + 6} \right) < 0
\end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
m > - 2 \hfill \cr 
- m - 2 < 0 \hfill \cr} \right. \) \(\Leftrightarrow m > - 2\) 

Vậy \(f(x) > 0, ∀x ∈\mathbb R  ⇔ m ≥ -2\)