Bài 5 trang 85 SGK Toán 11 tập 2 – Chân trời sáng tạo

Đề bài

Người ta định đào một cái hầm có dạng hình chóp cụt tứ giác đều có hai cạnh đáy là 14 m và 10 m. Mặt bên tạo với đáy nhỏ thành một góc nhị diện có số đo bằng 135°. Tính số mét khối đất cần phải di chuyển ra khỏi hầm.

Lời giải chi tiết

Mô hình hoá cái hầm bằng cụt chóp tứ giác đều \(ABCD.A'B'C'D'\) với \(O,O'\) là tâm của hai đáy. Vậy \(AB = 14,A'B' = 10\).

Gọi \(M,M'\) lần lượt là trung điểm của \(CD,C'D'\).

\(A'B'C'{\rm{D}}'\) là hình vuông \( \Rightarrow O'M' \bot C'{\rm{D}}'\)

\(CDD'C'\) là hình thang cân \( \Rightarrow MM' \bot C'D'\)

Vậy \(\widehat {MM'O'}\) là góc nhị diện giữa mặt bên và đáy nhỏ.

\( \Rightarrow \widehat {MM'O'} = {135^ \circ } \Rightarrow \widehat {M'MO} = {180^ \circ } - \widehat {MM'O'} = {45^ \circ }\)

Kẻ \(M'H \bot OM\left( {H \in OM} \right)\)

\(OMM'O'\) là hình chữ nhật

\( \Rightarrow OH = O'M' = 5,MH = OM - OH = 2,M'H = OO' = MH.\tan {45^ \circ } = 2\)

Diện tích đáy lớn là: \(S = A{B^2} = {14^2} = 196\left( {{m^2}} \right)\)

Diện tích đáy bé là: \(S' = A'B{'^2} = {10^2} = 100\left( {{m^2}} \right)\)

Số mét khối đất cần phải di chuyển ra khỏi hầm là:

\(V = \frac{1}{3}h\left( {S + \sqrt {SS'}  + S'} \right) = \frac{1}{3}.2\left( {196 + \sqrt {196.100}  + 100} \right) = \frac{{872}}{3} \approx 290,67\left( {{m^3}} \right)\)