Bài 5 trang 75 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 1

Đề bài

Cho tam giác ABC vuông tại A có diện tích \(37,5c{m^2},AB < AC\), đường cao AH có độ dài 6 cm. Tính các độ dài AB, AC.

Lời giải chi tiết

Có \({S_{\Delta ABC}} = \dfrac{{AB.AC}}{2} \)

\(\Rightarrow AB.AC = 2.{S_{\Delta ABC}} = 2.37,5 = 75\\ \Rightarrow AB = \dfrac{{75}}{{AC}}\)

Mặt khác: \({S_{\Delta ABC}} = \dfrac{{AH.BC}}{2}\)

\(\Rightarrow BC = \dfrac{{2.{S_{\Delta ABC}}}}{{AH}} = \dfrac{{2.37,5}}{6} = \dfrac{{25}}{2}\)  (cm)

Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác ABC vuông tại A:

\(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2} \\\Rightarrow \dfrac{{{{75}^2}}}{{A{C^2}}} + A{C^2} = {\left( {\dfrac{{25}}{2}} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {75^2} + A{C^4} = {\left( {\dfrac{{25}}{2}} \right)^2}.A{C^2}\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A{C^2} = 100\\A{C^2} = \dfrac{{225}}{4}\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}AC = 10 \Rightarrow AB = \dfrac{{15}}{2}\\AC = \dfrac{{15}}{2} \Rightarrow AB = 10\end{array} \right.\,\,\)

Mà \(AB < AC \Rightarrow AC = 10;\,\,AB = \dfrac{{15}}{2}\)