Bài 49 trang 32 SGK Toán 8 tập 2

Đề bài

Đố: Lan có một miếng bìa hình tam giác ABC vuông tại A, cạnh AB = 3cm. Lan tính rằng nếu cắt từ miếng bìa đó ra một hình chữ nhật ấy có diện tích bằng một nửa diện tích của miếng bìa ban đầu. Tính độ dài cạnh AC của tam giác ABC.

Lời giải chi tiết

Gọi \(x (cm)\) là độ dài cạnh \(AC (x >2 )\).

Gọi hình chữ nhật là \(MNPA\) (như hình vẽ) thì \(MC = x – 2 (cm)\)

Vì \(MN // AB\) nên \(\dfrac{{MN}}{{AB}} = \dfrac{{MC}}{{AC}}\) (hệ quả của định lí TaLet)

\( \Rightarrow MN = \dfrac{{AB.MC}}{{AC}} = \dfrac{{3\left( {x - 2} \right)}}{x}(cm)\)

Diện tích hình chữ nhật \(MNPA\) là: \(2.\dfrac{{3\left( {x - 2} \right)}}{x} = \dfrac{{6\left( {x - 2} \right)}}{x}\) 

Diện tích hình tam giác \(ABC\) là: \(\dfrac{1}{2}AB.AC = \dfrac{1}{2}.3.x = \dfrac{3}{2}x\)

Vì diện tích hình chữ nhật \(MNPA\) bằng một nửa diện tích hình tam giác \(ABC\) nên ta có phương trình:

\(\eqalign{
& {3 \over 2}x = 2.{{6\left( {x - 2} \right)} \over x} \cr
& \Leftrightarrow {{3x.x} \over {2x}} = {{2.2.6\left( {x - 2} \right)} \over {2x}} \cr
& \Rightarrow 3{x^2} = 24x - 48 \cr
& \Leftrightarrow 3{x^2} - 24x + 48 = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} - 8x + 16 = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} - 2.x.4 + {4^2} = 0 \cr
& \Leftrightarrow {\left( {x - 4} \right)^2} = 0 \cr
& \Leftrightarrow x - 4 = 0 \cr
& \Leftrightarrow x = 4\text{ (thỏa mãn)} \cr} \)

Vậy \(AC = 4cm\).