Bài 48 trang 114 SGK Hình học 10 Nâng cao

Cho đường thẳng \(\Delta :x + y - 1 = 0\) và điểm F(1, 1) . Viết phương trình của đường cônic nhận F là tiêu điểm và \(\Delta \) là đường chuẩn trong mỗi trường hợp sau đây

LG a

Tâm sai e = 1

Phương pháp giải:

Đường cô nic là tập hợp các điểm M thỏa mãn \(\frac{{MF}}{{d\left( {M,\Delta } \right)}} = e > 0\)

Lời giải chi tiết:

Giả sử: \(M\left( {x;y} \right) \in \left( C \right)\)

\(\eqalign{
& MF = \sqrt {{{\left( {1 - x} \right)}^2} + {{\left( {1 - y} \right)}^2}}\cr& d\left( {M,\Delta } \right) = {{|x + y - 1|} \over {\sqrt 2 }} \cr 
& {{MF} \over {d\left( {M,\Delta } \right)}} = e = 1\cr&  \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {1 - x} \right)}^2} + {{\left( {1 - y} \right)}^2}} = {{|x + y - 1|} \over {\sqrt 2 }} \cr 
& \Leftrightarrow 2\left( {{x^2} - 2x + 1 + {y^2} - 2y + 1} \right) \cr&={x^2} + {y^2} + 1 + 2xy - 2x - 2y \cr 
& \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 2xy - 2x - 2y + 3 = 0 \cr} \)

LG b

Tâm sai \(e = \sqrt 2 ;\)

Lời giải chi tiết:

\(\eqalign{
& \,\,\,{{MF} \over {d\left( {M,\Delta } \right)}} = \sqrt 2 \cr& \Leftrightarrow MF = \sqrt 2 d\left( {M,\Delta } \right)\cr & \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {1 - x} \right)}^2} + {{\left( {1 - y} \right)}^2}}  = \sqrt 2 .\frac{{\left| {x + y - 1} \right|}}{{\sqrt 2 }}\cr &\Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {1 - x} \right)}^2} + {{\left( {1 - y} \right)}^2}} = |x + y - 1| \cr 
& \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 + {y^2} - 2y + 1 = \cr&\;\;\;\;{x^2} + {y^2} + 1 + 2xy - 2x - 2y \cr 
& \Leftrightarrow 2xy - 1 = 0 \cr} \)

LG c

Tâm sai \(e = {1 \over {\sqrt 2 }}.\)

Lời giải chi tiết:

\(\eqalign{
& {{MF} \over {d\left( {M,\Delta } \right)}} = {1 \over {\sqrt 2 }}\cr& \Leftrightarrow MF = \frac{1}{{\sqrt 2 }}d\left( {M,\Delta } \right) \cr& \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {1 - x} \right)}^2} + {{\left( {1 - y} \right)}^2}}  = \frac{1}{{\sqrt 2 }}.\frac{{\left| {x + y - 1} \right|}}{{\sqrt 2 }}\cr & \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {1 - x} \right)}^2} + {{\left( {1 - y} \right)}^2}} = {{|x + y - 1|} \over 2} \cr 
& \Leftrightarrow 4\left( {{x^2} - 2x + 1 + {y^2} - 2y + 1} \right) = \cr&{x^2} + {y^2} + 1 + 2xy - 2x - 2y \cr 
& \Leftrightarrow 3{x^2} + 3{y^2} - 6x - 6y - 2xy + 7 = 0. \cr} \)