Bài 36 trang 207 SGK giải tích 12 nâng cao

Viết dạng lượng giác của các số phức sau:

LG a

\(1 - i\tan {\pi  \over 5}\)

Phương pháp giải:

Dạng lượng giác của số phức \(z = r\left( {\cos \varphi  + i\sin \varphi } \right)\)

Lời giải chi tiết:

\(1 - i\tan {\pi  \over 5} \) \(= 1 - i{{\sin {\pi  \over 5}} \over {\cos {\pi  \over 5}}}\) \( = {1 \over {\cos {\pi  \over 5}}}\left( {\cos {\pi  \over 5} - i\sin {\pi  \over 5}} \right) \) \(= {1 \over {\cos {\pi  \over 5}}}\left[ {\cos \left( { - {\pi  \over 5}} \right) + i\sin \left( { - {\pi  \over 5}} \right)} \right]\)

LG b

\(\tan {{5\pi } \over 8} + i;\)

Lời giải chi tiết:

\(\tan {{5\pi } \over 8} + i \) \( = \frac{{\sin \frac{{5\pi }}{8}}}{{\cos \frac{{5\pi }}{8}}} + i \) \(= \frac{1}{{\cos \frac{{5\pi }}{8}}}\left( {\sin \frac{{5\pi }}{8} + i\cos \frac{{5\pi }}{8}} \right)\) \(= {{ - 1} \over {\cos {{5\pi } \over 8}}}\left( { - \sin {{5\pi } \over 8} - i\cos {{5\pi } \over 8}} \right)\)

(do \(\cos {{5\pi } \over 8} < 0\))

\( = {1 \over {\cos {{3\pi } \over 8}}}\left( -{\cos {\pi  \over 8} + i\sin {\pi  \over 8}} \right) \) \(= {1 \over {\cos {{3\pi } \over 8}}}\left( {\cos {{7\pi } \over 8} + i\sin {{7\pi } \over 8}} \right)\)

LG c

\({\mkern 1mu} 1 - \cos \varphi  - i\sin \varphi {\mkern 1mu} \) \( \left( {\varphi  \in\mathbb R,{\mkern 1mu} \varphi  \ne k2\pi ,{\mkern 1mu} k \in\mathbb Z} \right){\rm{ }}\)

Lời giải chi tiết:

\(1 - \cos \varphi  - i\sin \varphi  \) \(= 2\sin^2 {\varphi  \over 2} - 2i\sin {\varphi  \over 2}\cos {\varphi  \over 2} \) \(= 2\sin {\varphi  \over 2}\left[ {\sin {\varphi  \over 2} - i\cos {\varphi  \over 2}} \right]\)

Khi \(\sin {\varphi  \over 2} > 0\) thì \(\,1 - \cos \varphi  - i\sin \varphi  \) \(= {2\sin {\varphi  \over 2}} \left[ {\cos \left( {{\varphi  \over 2} - {\pi  \over 2}} \right) +i\sin\left( {{\varphi  \over 2} - {\pi  \over 2}} \right)} \right]\) là dạng lượng giác cần tìm.

Khi \(\sin {\varphi  \over 2} < 0\) thì \(\,1 - \cos \varphi  - i\sin \varphi  \) \(= \left( { - 2\sin {\varphi  \over 2}} \right)\left[ {\cos \left( {{\varphi  \over 2} + {\pi  \over 2}} \right) + i\sin \left( {{\varphi  \over 2} + {\pi  \over 2}} \right)} \right]\) là dạng lượng giác cần tìm.

Còn khi \(\sin {\varphi  \over 2} = 0\) thì \(\,\,1 - \cos \varphi  - i\sin \varphi  = 0 = 0\left( {\cos \alpha  + i\sin \alpha } \right)\,\,(\alpha  \in\mathbb R\)tùy ý).