Bài 34 trang 61 SBT Hình học 12 Nâng cao

Đề bài

Cho hình nón N  có bán kính đáy R, đường cao SO. Gọi (P) là mặt phẳng vuông góc với SO tại O₁ sao cho \(S{O_1} = {1 \over 3}SO.\) Một mặt phẳng qua trục hình nón cắt phần khối nón N  nằm giữa (P) và đáy hình nón theo thiết diện là hình tứ giác có hai đường chéo vuông góc.

Tính thể tích phần hình nón N nằm giữa mặt phẳng (P) và mặt phẳng chứa đáy hình nón N.

Lời giải chi tiết

Gọi thiết diện thu được là \({\rm{A}}{{\rm{A}}_1}{B_1}B\).

Vì \(S{O_1} = {1 \over 3}SO\) nên

\({A_1}{B_1} = {1 \over 3}AB = {1 \over 3}.2R.\)

Mặt khác \(A{B_1} \bot {A_1}B\) tại I nên

\(IO = {1 \over 2}AB,I{O_1} = {1 \over 2}{A_1}{B_1}.\)

Vậy \(O{O_1} = R + {R \over 3} = {{4R} \over 3}.\)

Dễ thấy \(S{O_1} = {1 \over 2}O{O_1} = {{2R} \over 3}.\)

Từ đó \(SO = 2R.\)

Gọi thể tích phần hình nón phải tính là \(V^ * \) thì \(V^ *  = {V_1} - {V_2}\), trong đó :

V₁ là thể tích của hình nón N.

V₂ là thể tích hình nón đỉnh S và đáy là thiết diện của N. được cắt bởi (P).

Ta có thể tích phần hình nón phải tính là

\(\eqalign{  & V ^*  = {V_1} - {V_2} \cr&= {1 \over 3}\pi .O{B^2}.SO - {1 \over 3}\pi .{O_1}{B_1}^2.S{O_1}  \cr  &  = {1 \over 3}\pi ({R^2}.2R - {{{R^2}} \over 9}.{{2R} \over 3}) = {{52\pi {R^3}} \over {81}}. \cr} \)