Bài 32 trang 23 SGK Toán 9 tập 2

Đề bài

Hai vòi nước cùng chảy vào một bể nước cạn (không có nước) thì sau \(4\dfrac{4}{5}\) giờ đầy bể. Nếu lúc đầu chỉ mở vòi thứ nhất và \(9\) giờ sau mới mở thêm vòi thứ hai thì sau \(\dfrac{6}{5}\) giờ nữa mới đầy bể. Hỏi nếu ngay từ đầu chỉ mở vòi thứ hai thì sau bao lâu mới đầy bể ?

Lời giải chi tiết

Đổi \(4\dfrac{4}{5}\) giờ  \(=\dfrac{5.4+4}{5}\) giờ \(=\dfrac{24}{5}\) giờ

Gọi \(x\) (giờ) là thời gian để một mình vòi thứ nhất chảy đầy bể \((x > \dfrac{24}{5})\). 

      \(y\) (giờ) là thời gian để một mình vòi thứ hai chảy đầy bể \((y > \dfrac{24}{5})\).

Trong \(1\) giờ vòi thứ nhất chảy được \(\dfrac{1}{x}\) bể, vòi thứ hai chảy được \(\dfrac{1}{y}\) bể.

Suy ra trong \(1\) giờ, cả hai vòi chảy được: \( \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}\) (bể)

Theo đề bài, cả hai vòi cùng chảy đầy bể sau \(4\dfrac{4}{5}\) giờ = \(\dfrac{24}{5}\) giờ nên trong \(1\) giờ cả hai vòi cùng chảy được \(\dfrac{5}{24}\) bể.

Ta có phương trình: \(\dfrac{1}{x}+ \dfrac{1}{y}= \dfrac{5}{24}\)  (1)

Trong \(9\) giờ, vòi thứ nhất chảy được \(9.\dfrac{1}{x}\) bể.

Trong \(\dfrac{6}{5}\) giờ cả hai vòi chảy được \(\dfrac{6}{5}. {\left( \dfrac{1}{x}+ \dfrac{1}{y}\right)}\) bể.

Theo đề bài, vòi thứ nhất chảy \(9h\) sau đó mở thêm vòi thứ hai thì sau \(\dfrac{6}{5}\) giờ đầy bể nên ta có phương trình:

\(9. \dfrac{1}{x}+\dfrac{6}{5}. {\left( \dfrac{1}{x}+ \dfrac{1}{y}\right)}=1\)

\( \Leftrightarrow  9. \dfrac{1}{x}+\dfrac{6}{5}. \dfrac{1}{x}+ \dfrac{6}{5}.\dfrac{1}{y}=1\) \( \Leftrightarrow  {\left(9+\dfrac{6}{5}\right)} \dfrac{1}{x}+ \dfrac{6}{5}.\dfrac{1}{y}=1\)

\( \Leftrightarrow  \dfrac{51}{5}.\dfrac{1}{x}+ \dfrac{6}{5}.\dfrac{1}{y}=1\) \( \Leftrightarrow  51. \dfrac{1}{x}+ 6. \dfrac{1}{y}=5\)  (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ:

\(\left\{\begin{matrix} \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{5}{24} & & \\ 51. \dfrac{1}{x}+ 6. \dfrac{1}{y}=5 & & \end{matrix}\right.\)

Đặt  \(\left\{\begin{matrix} \dfrac{1}{x}=a & & \\  \dfrac{1}{y}=b & & \end{matrix}\right.\)  với \(a > 0,\ b> 0.\)

Hệ đã cho trở thành:

\(\left\{\begin{matrix} a + b = \dfrac{5}{24} & & \\ 51a+ 6b=5 & & \end{matrix}\right.\) 

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
6a + 6b = \dfrac{5}{4}\\
51a + 6b = 5
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
51a + 6b - \left( {6a + 6b} \right) = 5 - \dfrac{5}{4}\\
6a + 6b = \dfrac{5}{4}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
45a = \dfrac{{15}}{4}\\
a + b = \dfrac{5}{{24}}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = \dfrac{1}{{12}}\\
\dfrac{1}{{12}} + b = \dfrac{5}{{24}}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = \dfrac{1}{{12}}\\
b = \dfrac{5}{{24}} - \dfrac{1}{{12}}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = \dfrac{1}{{12}}\\
b = \dfrac{1}{8}
\end{array} \right.\left( {\,thỏa\,mãn} \right)
\end{array}\)

Do đó \(\left\{\begin{matrix} \dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{12} & & \\  \dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{8} & & \end{matrix}\right.\) \( \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x =12 & & \\ y=8  & & \end{matrix} (thỏa\ mãn)\right.\)

Vậy nếu từ đầu chỉ mở vòi hai thì sau \(8\) giờ bể sẽ đầy.

Cách khác:

Gọi lượng nước vòi thứ nhất và vòi thứ hai chảy một mình trong 1 giờ lần lượt là x (bể) và y (bể).

Điều kiện 0 < x, y < 1.

+ Cả hai vòi cùng chảy trong \(4\dfrac{4}{5} = 4,8\) giờ đầy 1 bể nên ta có phương trình: \(4,8x + 4,8y = 1.\)

+ Nếu mở vòi thứ nhất trong 9 giờ thì chảy được 9x (bể)

Sau \(\dfrac{6}{5} = 1,2\) giờ sau mở thêm vòi thứ hai thì chảy thêm được: \(1,2 (x + y)\) (bể)

Khi đó bể đầy nên ta có phương trình: \(9x + 1,2(x + y) = 1.\)

Ta có hệ phương trình:

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
4,8x + 4,8y = 1\\
9x + 1,2\left( {x + y} \right) = 1
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
4,8x + 4,8y = 1\\
10,2x + 1,2y = 1
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
4,8x + 4,8y = 1\\
40,8x + 4,8y = 4
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
4,8x + 4,8y = 1\\
40,8x + 4,8y - \left( {4,8x + 4,8y} \right) = 4 - 1
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
4,8x + 4,8y = 1\\
36x = 3
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = \dfrac{1}{{12}}\\
4,8.\dfrac{1}{{12}} + 4,8y = 1
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = \dfrac{1}{{12}}\\
y = \dfrac{1}{8}
\end{array} \right.
\end{array}\)

⇒ một giờ vòi hai chảy một mình được \(\dfrac{1}{8}\) bể

Vậy nếu ngay từ đầu chỉ mở vòi thứ hai thì sau 8 giờ sẽ đầy bể.