Bài 31 trang 23 SGK Toán 9 tập 2

Đề bài

Tính độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông, biết rằng nếu tăng mỗi cạnh lên \(3\) cm thì diện tích tam giác đó sẽ tăng thêm \(36\) cm², và nếu một cạnh giảm đi \(2\)cm, cạnh kia giảm đi \(4\) cm thì diện tích của tam giác giảm đi \(26\) cm²

Lời giải chi tiết

Gọi \(x\) (cm), \(y\) (cm) là độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông. Điều kiện \(x > 0, y > 0\).

Suy ra diện tích tam giác vuông lúc ban đầu là: \(S=\dfrac{1}{2}xy\) \((cm^2)\).

Độ dài hai cạnh sau khi tăng thêm \(3\) cm là:  \((x+3)\) (cm) và \((y+3)\) (cm).

Suy ra diện tích tam giác sau khi tăng độ dài cạnh là: \(\dfrac{1}{2}(x+3)(y+3) \) \((cm^2)\)

Vì diện tích lúc này tăng thêm \(36\) cm² so với ban đầu, nên ta có phương trình:

\(\dfrac{1}{2}(x + 3)(y + 3)= \dfrac{1}{2}xy + 36\) (1) 

+ Vì hai cạnh góc vuông đóng vai trò như nhau nên ta chọn cạnh có độ dài \(x\) (cm) giảm đi \(2cm\) và cạnh có độ dài \(y\) (cm) giảm đi \(4cm\). Khi đó độ dài cạnh sau khi giàm là: \((x-2)\) (cm) và \((y-4)\) (cm) (ĐK: \( x>2;y>4\)).

Suy ra diện tích tam giác sau khi giảm độ dài cạnh là: \(\dfrac{1}{2}(x-2)(y-4)\) \((cm^2)\)

Lúc này diện tích tam giác giảm \(26\) \(cm^2\) so với ban đầu, nên ta có phương trình:

\(\dfrac{1}{2}(x - 2)(y- 4) = \dfrac{1}{2}xy - 26\) (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

\(\left\{\begin{matrix} \dfrac{1}{2}(x + 3)(y + 3)= \dfrac{1}{2}xy + 36 & & \\ \dfrac{1}{2}(x - 2)(y- 4) = \dfrac{1}{2}xy - 26 & & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (x + 3)(y + 3)= xy + 72 & & \\ (x -2)(y - 4)= xy -52 & & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} xy + 3x + 3y + 9 = xy + 72 & & \\ xy - 4x - 2y + 8 = xy - 52 & & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} xy + 3x + 3y -xy  = 72-9 & & \\ xy - 4x - 2y - xy= - 52 -8& & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3x + 3y = 63 & & \\ -4x - 2y =- 60 & & \end{matrix}\right.\)

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x + y = 21\\
2x + y = 30
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2x + y - \left( {x + y} \right) = 30 - 21\\
x + y = 21
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 9\\
9 + y = 21
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 9\\
y = 21
\end{array} \right.\left( {\,thỏa\,mãn} \right)
\end{array}\)

Vậy độ dài hai cạnh góc vuông là \(9\) cm, \(12\) cm.