Bài 30 trang 32 Vở bài tập toán 9 tập 2

Giải các hệ phương trình sau:

LG a

\(\left\{ \begin{array}{l}x\sqrt 5  - \left( {1 + \sqrt 3 } \right)y = 1\\\left( {1 - \sqrt 3 } \right)x + y\sqrt 5  = 1\end{array} \right.\)

Phương pháp giải:

Sử dụng cách giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

Lời giải chi tiết:

Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với \(\sqrt 5 \) , ta được  \(5.x - \sqrt 5 \left( {1 + \sqrt 3 } \right)y = \sqrt 5 \)

Nhân hai vế của phương trình thứ hai với \(\left( {1 + \sqrt 3 } \right)\), ta được \( - 2x + y\sqrt 5 \left( {1 + \sqrt 3 } \right) = \left( {1 + \sqrt 3 } \right)\)

Cộng từng vế của hai phương trình mới nhận được, ta có \(3x = 1 + \sqrt 5  + \sqrt 3 \) suy ra \(x = \dfrac{{1 + \sqrt 5  + \sqrt 3 }}{3}\)

Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với \(1 - \sqrt 3 \) , ta được \(x\sqrt 5 \left( {1 - \sqrt 3 } \right) + 2y = 1 - \sqrt 3 \) 

Nhân hai vế của phương trình thứ hai với \( - \sqrt 5 \) , ta được \( - \sqrt 5 \left( {1 - \sqrt 3 } \right)x - 5y =  - \sqrt 5 \)

Cộng từng vế của hai phương trình mới nhận được, ta có \( - 3y = 1 - \sqrt 5  - \sqrt 3 \) suy ra \(x = \dfrac{{ - 1 + \sqrt 5  + \sqrt 3 }}{3}\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right) = \left( {\dfrac{{\sqrt 5  + \sqrt 3  + 1}}{3};\dfrac{{\sqrt 5  + \sqrt 3  - 1}}{3}} \right)\)

LG b

 \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{2x}}{{x + 1}} + \dfrac{y}{{y + 1}} = \sqrt 2 \\\dfrac{x}{{x + 1}} + \dfrac{{3y}}{{y + 1}} =  - 1\end{array} \right.\)

Phương pháp giải:

Sử dụng cách giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ

Ta đặt \(u = \dfrac{x}{{x + 1}};\,v = \dfrac{y}{{y + 1}}\)  

Lời giải chi tiết:

Với điều kiện \(x + 1 \ne 0\) và \(y + 1 \ne 0\) đặt  \(u = \dfrac{x}{{x + 1}};\,v = \dfrac{y}{{y + 1}}\) ta được hệ phương trình

(I)   \(\left\{ \begin{array}{l}2u + v = \sqrt 2 \\u + 3v =  - 1\end{array} \right.\)

Giải (I):

\(\left\{ \begin{array}{l}2u + v = \sqrt 2 \\u + 3v =  - 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2u + v = \sqrt 2 \\2u + 6v =  - 2\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 5v = \sqrt 2  + 2\\u + 3v =  - 1\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}v =  - \dfrac{{2 + \sqrt 2 }}{5}\\u - 3.\dfrac{{2 + \sqrt 2 }}{5} =  - 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}v =  - \dfrac{{2 + \sqrt 2 }}{5}\\u - \dfrac{{6 + 3\sqrt 2 }}{5} =  - 1\end{array} \right.\)

Do đó, hệ phương trình đã cho tương đương với hệ sau:

(II)   \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{x}{{x + 1}} = \dfrac{{1 + 3\sqrt 2 }}{5}\\\dfrac{y}{{y + 1}} =  - \dfrac{{2 + \sqrt 2 }}{5}\end{array} \right.\)

Giải (II), ta được:

 \( (II)\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{x}{{x + 1}} = \dfrac{{1 + 3\sqrt 2 }}{5}\\\dfrac{y}{{y + 1}} =  - \dfrac{{2 + \sqrt 2 }}{5}\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5x = \left( {1 + 3\sqrt 2 } \right)x + 1 + 3\sqrt 2 \\5y =  - \left( {2 + \sqrt 2 } \right)y - 2 - \sqrt 2 \end{array} \right.\)\( \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {4 - 3\sqrt 2 } \right)x = 1 + 3\sqrt 2 \\\left( {7 + \sqrt 2 } \right)y =  - 2 - \sqrt 2 \end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{1 + 3\sqrt 2 }}{{4 - 3\sqrt 2 }}\\y = \dfrac{{ - 2 - \sqrt 2 }}{{7 + \sqrt 2 }}\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{14 + 9\sqrt 2 }}{2}\\y =  - \dfrac{{12 + 5\sqrt 2 }}{{47}}\end{array} \right.\,(tm)\)

Kết luận : Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right) = \left( {\dfrac{{14 + 9\sqrt 2 }}{2}; - \dfrac{{12 + 5\sqrt 2 }}{{47}}} \right)\)