Bài 25 trang 205 SGK Đại số 10 Nâng cao

Đề bài

Tìm các mối liên hệ giữa các giá trị lượng giác của các góc cung α và \(\alpha  - {{3\pi } \over 2}\)

Lời giải chi tiết

Ta có:

+) \(\cos \left( {\alpha  - \frac{{3\pi }}{2}} \right) = \cos \left( {\frac{{3\pi }}{2} - \alpha } \right)\) (áp dụng công thức \(\cos \left( { - x} \right) = \cos x\))

\( = \cos \left( {\pi  + \frac{\pi }{2} - \alpha } \right) =  - \cos \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right)\) (áp dụng công thức \(\cos \left( {\pi  + x} \right) =  - \cos x\))

\( =  - \sin \alpha \) (áp dụng công thức \(\cos \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) = \sin x\))

Do đó \(\cos \left( {\alpha  - \frac{{3\pi }}{2}} \right)=  - \sin \alpha\)

+) \(\sin \left( {\alpha  - \frac{{3\pi }}{2}} \right) =  - \sin \left( {\frac{{3\pi }}{2} - \alpha } \right)\) (áp dụng công thức \(\sin \left( { - x} \right) =  - \sin x\))

\( =  - \sin \left( {\pi  + \frac{\pi }{2} - \alpha } \right) =  - \left[ { - \sin \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right)} \right]\) (áp dụng công thức \(\sin \left( {\pi  + x} \right) =  - \sin x\))

\( = \sin \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) = \cos \alpha \) (áp dụng công thức \(\sin \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) = \cos x\))

Do đó \(\sin \left( {\alpha  - \frac{{3\pi }}{2}} \right)=  \cos \alpha\)

\(\eqalign{&  \tan(\alpha - {{3\pi } \over 2})  = \frac{{\sin \left( {\alpha  - \frac{{3\pi }}{2}} \right)}}{{\cos \left( {\alpha  - \frac{{3\pi }}{2}} \right)}} \cr &= \frac{{\cos \alpha }}{{ - \sin \alpha }}\cr &= - \cot \alpha \,\,\,(\alpha \ne k\pi ;\,\,\,k \in Z) \cr & \cot (\alpha - {{3\pi } \over 2})  = \frac{{\cos \left( {\alpha  - \frac{{3\pi }}{2}} \right)}}{{\sin \left( {\alpha  - \frac{{3\pi }}{2}} \right)}} \cr &= \frac{{ - \sin \alpha }}{{\cos \alpha }}\cr &= - \tan \alpha \,\,(\alpha \ne {\pi \over 2} + k\pi ;\,\,\,k \in Z) \cr} \)

Cách khác:

\(\begin{array}{l}
\tan \left( {\alpha - \frac{{3\pi }}{2}} \right) = - \tan \left( {\frac{{3\pi }}{2} - \alpha } \right)\\
= - \tan \left( {\pi + \frac{\pi }{2} - \alpha } \right) = - \tan \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right)\\
= - \cot \alpha \\
\cot \left( {\alpha - \frac{{3\pi }}{2}} \right) = - \cot \left( {\frac{{3\pi }}{2} - \alpha } \right)\\
= - \cot \left( {\pi + \frac{\pi }{2} - \alpha } \right) = - \cot \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right)\\
= - \tan \alpha
\end{array}\)