Bài 23 Trang 162 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Cho \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx = 3.} \) Tính \(\int\limits_{ - 1}^0 {f\left( x \right)} dx\) trong các trường hợp sau:

LG a

f là hàm số lẻ;

Phương pháp giải:

f là hàm số lẻ thì \(f\left( { - x} \right) =  - f\left( x \right)\)

Lời giải chi tiết:

Tính \(\int\limits_{ - 1}^0 {f\left( x \right)} dx\).

Đặt \(x =  - u \Rightarrow dx =  - du\).

Đổi cận \(x =  - 1 \Rightarrow u = 1,x = 0 \Rightarrow u = 0\)

\(\int\limits_{ - 1}^0 {f\left( x \right)dx}  = \int\limits_1^0 {f\left( { - u} \right)\left( { - du} \right)} \)\( = \int\limits_0^1 {f\left( { - u} \right)du}  = \int\limits_0^1 {\left[ { - f\left( u \right)} \right]du} \) 

(do f là hàm số lẻ nên f(-u)=-f(u))

\( =  - \int\limits_0^1 {f\left( u \right)du} =  - \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx }=  - 3. \)

LG b

f là hàm số chẵn.

Phương pháp giải:

f là hàm số chẵn thì \(f\left( { - x} \right) = f\left( x \right)\)

Lời giải chi tiết:

Tính \(\int\limits_{ - 1}^0 {f\left( x \right)} dx\)

Đặt \(x =  - u \Rightarrow dx =  - du\).

Đổi cận \(x =  - 1 \Rightarrow u = 1,x = 0 \Rightarrow u = 0\).

\(\int\limits_{ - 1}^0 {f\left( x \right)dx = } \int\limits_{  1}^0 {f\left( { - u} \right)\left( { - du} \right) }\)

\( = \int\limits_0^1 {f\left( { - u} \right)du}  = \int\limits_0^1 { {  f\left( u \right)} du} \) \( =\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx }=  3. \)

(do f là hàm số chẵn nên f(-u)=f(u))