Bài 22 Trang 162 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Chứng minh rằng: 

LG a

\(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)} dx = \int\limits_0^1 {f\left( {1 - x} \right)dx.} \)

Phương pháp giải:

Đổi biến u=1-x

Lời giải chi tiết:

Đặt \(u = 1 - x \Rightarrow du =  - dx\)

\(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)} dx = \int\limits_1^0 {f\left( {1 - u} \right)} \left( { - du} \right) \) \(= \int\limits_0^1 {f\left( {1 - u} \right)} du = \int\limits_0^1 {f\left( {1 - x} \right)} dx\)

(Do \(\int\limits_a^b {f\left( u \right)du}  = \int\limits_a^b {f\left( v \right)dv} \))

LG b

 \(\int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)} dx = \int\limits_0^1 {\left[ {f\left( x \right) + f\left( { - x} \right)} \right]} dx.\) 

Lời giải chi tiết:

\(\int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)} dx = \int\limits_{-1}^0 {f\left( x \right)} dx + \int\limits_0^1 {f\left( x \right)} dx\) với \(\int\limits_{ - 1}^0 {f\left( x \right)} dx\)

Đặt \(u =  - x \Rightarrow du =  - dx\).

Đổi cận \(x =  - 1 \Rightarrow u = 1,x = 0 \Rightarrow u = 0\)

Khi đó \(\int\limits_{ - 1}^0 {f\left( x \right)dx = \int\limits_1^0 {f\left( { - u} \right)} } \left( { - du} \right) \) \(= \int\limits_0^1 {f\left( { - u} \right)} du = \int\limits_0^1 {f\left( { - x} \right)} dx\)

Do đó \(\int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)dx}  = \int\limits_0^1 {f\left( { - x} \right)dx}  + \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx}  \) \(= \int\limits_0^1 {\left[ {f\left( x \right) + f\left( { - x} \right)} \right]dx} \)