Bài 21 trang 24 Vở bài tập toán 9 tập 2

Bằng cách đặt ẩn phụ (theo hướng dẫn), đưa các hệ phương trình sau về dạng hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn rồi giải: 

LG a

\(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{y} = 1\\\dfrac{5}{x} + \dfrac{4}{y} = 5\end{array} \right.\) 

Hướng dẫn: Đặt \(u = \dfrac{1}{x},\,\,v = \dfrac{1}{y}\)

Phương pháp giải:

Giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ

Đặt \(\dfrac{1}{x} = u;\dfrac{1}{y} = v\,\,\left( {u;v \ne 0} \right)\)

Lời giải chi tiết:

Đặt \(\dfrac{1}{x} = u;\dfrac{1}{y} = v,\) ta có hệ phương trình\(\left\{ \begin{array}{l}u - v = 1\\3u + 4v = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3u - 3v = 3\\3u + 4v = 5\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}7v = 2\\u - v = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}v = \dfrac{2}{7}\\u = \dfrac{9}{7}\end{array} \right.\)

Do đó hệ phương trình đã cho tương đương với hệ \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{x} = \dfrac{9}{7}\\\dfrac{1}{y} = \dfrac{2}{7}\end{array} \right.\)

Giải hệ này, ta được \(x = \dfrac{7}{9}\)  và \(y = \dfrac{7}{2}.\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right) = \left( {\dfrac{7}{9};\dfrac{7}{2}} \right)\)

LG b

\(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{{x - 2}} + \dfrac{1}{{y - 1}} = 2\\\dfrac{2}{{x - 2}} - \dfrac{3}{{y - 1}} = 1\end{array} \right.\)

Hướng dẫn: Đặt \(u = \dfrac{1}{{x - 2}},\,\,v = \dfrac{1}{{y - 1}}\)

Phương pháp giải:

Giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ

Đặt \(\dfrac{1}{{x - 2}} = u;\dfrac{1}{{y - 1}} = v\,\,\left( {u;v \ne 0} \right)\)

Lời giải chi tiết:

Đặt \(\dfrac{1}{{x - 2}} = u;\dfrac{1}{{y - 1}} = v\,\), ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}u + v = 2\\2u - 3v = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u + v = 2\\ - 5v =  - 3\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}v = \dfrac{3}{5}\\u = \dfrac{7}{5}\end{array} \right.\)

Do đó, hệ phương trình đã cho tương đương với hệ \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{{x - 2}} = \dfrac{7}{5}\\\dfrac{1}{{y - 1}} = \dfrac{3}{5}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 2 = \dfrac{5}{7}\\y - 1 = \dfrac{5}{3}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{19}}{7}\\y = \dfrac{8}{3}\end{array} \right.\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right) = \left( {\dfrac{{19}}{7};\dfrac{8}{3}} \right)\)