Bài 20 trang 122 SGK Toán 8 tập 1

Đề bài

Vẽ hình chữ nhật có một cạnh bằng một cạnh của một tam giác cho trước và có diện tích bằng diện tích của tam giác đó. Từ đó suy ra một cách chứng minh khác về công thức tính diện tích tam giác.

Lời giải chi tiết

Cho tam giác \(ABC\) với đường cao \(AH\), \(I\) là trung điểm của \(AH\).

Ta dựng hình chữ nhật \(BCDE\) có \(BE = DC = IH\) 

\(∆EBM\) vuông tại \(E\)

\(∆IAM\) vuông tại \(I\)

Xét hai tam giác vuông \(∆EBM\) và \(∆IAM\) có:

+) \(\widehat {BME} = \widehat {AMI}\) (đối đỉnh)

+) \(BE = AI = \dfrac{{AH}}{2}\) (tính chất trung điểm)

\( \Rightarrow ∆EBM = ∆IAM\) ( Cạnh góc vuông - góc nhọn)

\( \Rightarrow {S_{IAM}} = {S_{EBM}}\)

Vì \(I\) là trung điểm của \(AH\) (gt) và \(IN // BC\) nên suy ra \(N\) là trung điểm của \(AC\)

(Trong một tam giác, đường thẳng đi qua trung điểm của cạnh thứ nhất và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm của cạnh thứ ba)

Xét hai tam giác vuông \(∆IAN\) và \(∆DCN\) có:

+) \(\widehat {ANI} = \widehat {DNC}\) (đối đỉnh)

+) \(AN = NC = \dfrac{{AC}}{2}\) (tính chất trung điểm)

\( \Rightarrow ∆IAN = ∆DCN\) ( Cạnh huyền - góc nhọn)

\( \Rightarrow {S_{DCN}} = {S_{IAN}}\)

Ta có: 

\({S_{BEM}} + {S_{BMNC}} + {S_{N{\rm{D}}C}} = {S_{AMI}} \)\(+ {S_{BMNC}} + {S_{AIN}}\)

\(\Rightarrow {S_{EB{\rm{D}}C}} = {S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}AH.BC \)\(= C{\rm{D}}.BC\)

Ta đã tìm được công thức tính diện tích tam giác bằng một phương pháp khác.