Bài 2 trang 83 SGK Hình học 10

Lập phương trình đường tròn \((C)\) trong các trường hợp sau:

LG a

\((C)\) có tâm \(I(-2; 3)\) và đi qua \(M(2; -3)\);

Phương pháp giải:

Đường tròn \((C)\) có tâm \(I(a; \, b)\) và đi qua điểm \(M\) thì có bán kính là \(R=IM\) và có phương trình: \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2} = I{M^2}.\)

Lời giải chi tiết:

(C) có tâm \(I\) và đi qua \(M\) nên bán kính \(R = IM\).

\(\Rightarrow {R^{2}} = IM^2 = {\rm{ }}{\left( {2{\rm{ }} + {\rm{ }}2} \right)^2} + {\rm{ }}( - 3{\rm{ }} - {3^2}){\rm{ }} \)\(= {\rm{ }}52\)

Phương trình đường tròn \((C)\):

\({\left( {x{\rm{ }} + 2} \right)^2} + {\rm{ }}{\left( {y{\rm{ }}-{\rm{ }}3} \right)^2} = 52\)

LG b

\((C)\) có tâm \(I(-1; 2)\) và tiếp xúc với đường thẳng \(d : x – 2y + 7 = 0\)

Phương pháp giải:

Đường tròn \((C)\) có tâm \(I(a; \, b)\) và tiếp xúc với đường thẳng \(d\) thì \(R = d\left( {I;\;d} \right).\)

Lời giải chi tiết:

Đường tròn tiếp xúc với đường thẳng \(d\)

\( \Rightarrow \) \(d(I; d) = R\)

Ta có: \( R = d(I, d) = \dfrac{|-1-2.2+7|}{\sqrt{1^{2}+(-2)^{2}}}\) = \(\dfrac{2}{\sqrt{5}}\) 

Phương trình đường tròn cần tìm là:

\({\left( {x{\rm{ }} + 1} \right)^2} + {\rm{ }}{\left( {y{\rm{ }}-{\rm{ }}2} \right)^2}= \left(\dfrac{2}{\sqrt{5}}\right )^{2}\)  

\( \Leftrightarrow {\left( {x{\rm{ }} + 1} \right)^2} + {\rm{ }}{\left( {y{\rm{ }}-{\rm{ }}2} \right)^2} = \dfrac{4}{5}\)

LG c

\((C)\) có đường kính \(AB\) với \(A(1; 1)\) và \(B(7; 5).\)

Phương pháp giải:

Đường tròn \((C)\) có đường kính \(AB\) thì có tâm \(I\) là trung điểm của \(AB\) và bán kính: \(R = \dfrac{{AB}}{2}.\)

Lời giải chi tiết:

Tâm \(I\) là trung điểm của \(AB\), có tọa độ :

\(\left\{ \begin{array}{l}
{x_I} = \dfrac{{1 + 7}}{2} = 4\\
{y_I} = \dfrac{{1 + 5}}{2} = 3
\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {4;3} \right)\)

\(AB = \sqrt {{{\left( {7 - 1} \right)}^2} + {{\left( {5 - 1} \right)}^2}}  = 2\sqrt {13} \) suy ra \( R = \sqrt {13}\)   

Phương trình đường tròn cần tìm là:

\({\left( {x{\rm{ }} - 4{\rm{ }}} \right)^2} + {\rm{ }}{\left( {y{\rm{ }}-{\rm{ }}3} \right)^2} = 13\)