Bài 1 trang 83 SGK Hình học 10

Tìm tâm và bán kính của các đường tròn sau:

LG a

\({x^2} + {\rm{ }}{y^2} - 2x-2y - 2{\rm{ }} = 0\)

Phương pháp giải:

Cho phương trình đường tròn: \({x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0.\) Khi đó đường tròn có tâm \(I(a;\, b)\) và bán kính: \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} - c} .\)

Lời giải chi tiết:

Ta có : \(-2a = -2 \Rightarrow a = 1\)

           \(-2b = -2 \Rightarrow b = 1  \Rightarrow I(1; 1)\)

\({R^2} = {a^2} + {b^2} - c \)\(= {1^2} + {1^2} - ( - 2) = 4 \Rightarrow R = \sqrt 4  = 2\)

Cách khác:

\(\begin{array}{l}
{x^2} + {y^2} - 2x - 2y - 2 = 0\\
\Leftrightarrow \left( {{x^2} - 2x + 1} \right) + \left( {{y^2} - 2y + 1} \right) = 4\\
\Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = {2^2}
\end{array}\)

Vậy đường tròn có tâm \(I(1;1)\) bán kính \(R=2\).

LG b

\(16{x^2} + {\rm{ }}16{y^2} + {\rm{ }}16x{\rm{ }}-{\rm{ }}8y{\rm{ }}-{\rm{ }}11{\rm{ }} = {\rm{ }}0\)

Lời giải chi tiết:

\(\displaystyle 16{x^2} + {\rm{ }}16{y^2} + {\rm{ }}16x{\rm{ }}-{\rm{ }}8y{\rm{ }}-{\rm{ }}11{\rm{ }} = {\rm{ }}0\)

\(\displaystyle \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + x - {1 \over 2}y - {{11} \over {16}} = 0\)

\(\displaystyle \eqalign{
& - 2a = 1 \Rightarrow a = - {1 \over 2} \cr 
& - 2b = - {1 \over 2} \Rightarrow b = {1 \over 4} \cr 
& \Rightarrow I\left( { - {1 \over 2};{1 \over 4}} \right) \cr} \)

\(\displaystyle {R^2} = {a^2} + {b^2} - c \)\(\displaystyle = {\left( { - {1 \over 2}} \right)^2} + {\left( {{1 \over 4}} \right)^2} - \left( { - {{11} \over {16}}} \right) = 1\)\(\displaystyle \Rightarrow R = \sqrt 1  = 1\)

Cách khác:

\(\begin{array}{l}
16{x^2} + 16{y^2} + 16x - 8y - 11 = 0\\
\Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + x - \dfrac{1}{2}y - \dfrac{{11}}{{16}} = 0\\
\Leftrightarrow \left( {{x^2} + x + \dfrac{1}{4}} \right) + \left( {{y^2} - \dfrac{1}{2}y + \dfrac{1}{{16}}} \right) = 1\\
\Leftrightarrow {\left( {x + \dfrac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {y - \dfrac{1}{4}} \right)^2} = {1^2}
\end{array}\)

Do đó đường tròn có tâm \(I\left( { - \dfrac{1}{2};\dfrac{1}{4}} \right)\) bán kính \(R=1\).

LG c

\({x^{2}} + {\rm{ }}{y^{2}} - {\rm{ }}4x{\rm{ }} + {\rm{ }}6y{\rm{ }}-{\rm{ }}3{\rm{ }} = {\rm{ }}0.\)

Lời giải chi tiết:

\(\eqalign{
& - 2a = - 4 \Rightarrow a = 2 \cr 
& - 2b = 6 \Rightarrow b = - 3 \cr 
& \Rightarrow I\left( {2; - 3} \right) \cr} \)

\({R^2} = {a^2} + {b^2} - c \)\(= {2^2} + {\left( { - 3} \right)^2} - \left( { - 3} \right) = 16 \)

\(\Rightarrow R = \sqrt {16}  = 4\)

Cách khác:

\(\begin{array}{l}
{x^2} + {y^2} - 4x + 6y - 3 = 0\\
\Leftrightarrow \left( {{x^2} - 4x + 4} \right) + \left( {{y^2} + 6y + 9} \right) = 16\\
\Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = {4^2}
\end{array}\)

Do đó đường tròn có tâm \(I(2;-3)\) bán kính \(R=4\).