Bài 15 trang 30 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 1

Đề bài

Cho biểu thức :  \(P = \left( {\dfrac{{\sqrt x  + 2}}{{x - 5\sqrt x  + 6}} - \dfrac{{\sqrt x  + 3}}{{2 - \sqrt x }} - \dfrac{{\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x  - 3}}} \right):\left( {2 - \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 1}}} \right)\)

a) Tìm giá trị của x để P có nghĩa rồi rút gọn P.

b) Tìm x để \(\dfrac{1}{P} \le  - \dfrac{5}{2}\).

Lời giải chi tiết

a) Điều kiện:

\(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x - 5\sqrt x  + 6 \ne 0\\\sqrt x  - 3 \ne 0\\2 - \sqrt x  \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x \ne 9\\x \ne 4\end{array} \right..\)

\(\begin{array}{l}P = \left( {\dfrac{{\sqrt x  + 2}}{{x - 5\sqrt x  + 6}} - \dfrac{{\sqrt x  + 3}}{{2 - \sqrt x }} - \dfrac{{\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x  - 3}}} \right):\left( {2 - \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 1}}} \right)\\\;\;\; = \left[ {\dfrac{{\sqrt x  + 2}}{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}} + \dfrac{{\sqrt x  + 3}}{{\sqrt x  - 2}} - \dfrac{{\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x  - 3}}} \right]:\dfrac{{2\sqrt x  + 2 - \sqrt x }}{{\sqrt x  + 1}}\\\;\;\; = \dfrac{{\sqrt x  + 2 + \left( {\sqrt x  + 3} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right) - \left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}}:\dfrac{{\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x  + 1}}\\\;\;\; = \dfrac{{\sqrt x  + 2 + x - 9 - x + 4}}{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}}.\dfrac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  + 2}}\\\;\;\; = \dfrac{{\sqrt x  - 3}}{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}}.\dfrac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  + 2}}\\\;\;\; = \dfrac{{\sqrt x  + 1}}{{x - 4}}.\end{array}\)

b) Điều kiện: \(x \ge 0,\;\;x \ne 4,\;\;x \ne 9.\)

\(\begin{array}{l}\;\;\;\;\dfrac{1}{P} \le  - \dfrac{5}{2} \Leftrightarrow \dfrac{{x - 4}}{{\sqrt x  + 1}} \le  - \dfrac{5}{2}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{x - 4}}{{\sqrt x  + 1}} + \dfrac{5}{2} \le 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{2x - 8 + 5\sqrt x  + 5}}{{2\left( {\sqrt x  + 1} \right)}} \le 0\\ \Leftrightarrow 2x + 5\sqrt x  - 3 \le 0\;\;\;\;\left( {do\;\;2\left( {\sqrt x  + 1} \right) > 0} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {2\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right) \le 0\\ \Leftrightarrow 2\sqrt x  - 1 \le 0\;\;\;\left( {\sqrt x  + 3 > 0} \right)\\ \Leftrightarrow 2\sqrt x  \le 1\\ \Leftrightarrow \sqrt x  \le \dfrac{1}{2}\\ \Leftrightarrow x \le \dfrac{1}{4}.\end{array}\)

Kết hợp với điều kiện \(x \ge 0,\;\;x \ne 4,\;\;x \ne 9\) ta được \(0 \le x \le \dfrac{1}{4}.\)

Vậy \(0 \le x \le \dfrac{1}{4}.\)