Bài 15 trang 15 SGK Toán 9 tập 2

Giải hệ phương trình \(\left\{\begin{matrix} x + 3y = 1 & & \\ (a^{2} + 1)x + 6y = 2a & & \end{matrix}\right.\) trong mỗi trường hợp sau:

LG a

\(a = -1\)

Phương pháp giải:

+) Thay từng giá trị của \(a\) vào hệ phương trình đã cho.

+) Dùng quy tắc thế biến đổi hệ phương trình thu được để có một hệ phương trình mới trong đó có một phương trình một ẩn.

+) Giải phương trình một ẩn vừa có rồi suy ra nghiệm của hệ.

Lời giải chi tiết:

Thay \(a = -1\) vào hệ, ta được:

\(\left\{\begin{matrix} x + 3y = 1 & & \\ {\left((-1)^2+1 \right)}x+ 6y = 2.(-1) & & \end{matrix}\right. \)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x + 3y = 1 & & \\ 2x+ 6y = -2 & & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x + 3y = 1 & & \\ x+ 3y = -1 & & \end{matrix}\right.  \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x  = 1 -3y  & & \\ (1-3y)+ 3y = -1 & & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x  = 1 -3y & & \\  1 = -1 (vô \ lý )& & \end{matrix}\right.\)

Vậy hệ phương trình trên vô nghiệm.

LG b

\(a = 0\)

Phương pháp giải:

+) Thay từng giá trị của \(a\) vào hệ phương trình đã cho.

+) Dùng quy tắc thế biến đổi hệ phương trình thu được để có một hệ phương trình mới trong đó có một phương trình một ẩn.

+) Giải phương trình một ẩn vừa có rồi suy ra nghiệm của hệ.

Lời giải chi tiết:

Thay \(a = 0\) vào hệ, ta được:

\(\left\{ \matrix{
x + 3y = 1 \hfill \cr 
\left( {0 + 1} \right)x + 6y = 2.0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x + 3y = 1 \hfill \cr 
x + 6y = 0 \hfill \cr} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x + 3y = 1 \hfill \cr 
x = - 6y \hfill \cr} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
- 6y + 3y = 1 \hfill \cr 
x = - 6y \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
- 3y = 1 \hfill \cr 
x = - 6y \hfill \cr} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
y = \dfrac{ - 1}{3} \hfill \cr 
x = - 6y \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
y = \dfrac{ - 1}{3} \hfill \cr 
x = - 6. \dfrac{ - 1}{3} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
y = \dfrac{ - 1}{3} \hfill \cr 
x = 2 \hfill \cr} \right.\)

Hệ phương trình có nghiệm \( {\left(2; -\dfrac{1}{3} \right)} \).

LG c

\(a = 1\)

Phương pháp giải:

+) Thay từng giá trị của \(a\) vào hệ phương trình đã cho.

+) Dùng quy tắc thế biến đổi hệ phương trình thu được để có một hệ phương trình mới trong đó có một phương trình một ẩn.

+) Giải phương trình một ẩn vừa có rồi suy ra nghiệm của hệ.

Lời giải chi tiết:

Thay \(a = 1\) vào hệ, ta được:

\(\left\{ \matrix{
x + 3y = 1 \hfill \cr 
({1^2} + 1)x + 6y = 2.1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x + 3y = 1 \hfill \cr 
2x + 6y = 2 \hfill \cr} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x + 3y = 1 \hfill \cr 
x + 3y = 1 \hfill \cr} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 3y\\1 - 3y + 3y = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 3y\\1 = 1\left( {luôn\,đúng} \right)\end{array} \right.\)

 Vậy  hệ phương trình có vô số nghiệm \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 3y\\y \in \mathbb{R}\end{array} \right.\)

Cách khác

a) \(a = -1\);             b) \(a = 0\);              c) \(a = 1\).

Phương pháp giải:

Biến đổi từ hệ phương trình ban đầu rồi sau đó mới thay các giá trị của a

Lời giải chi tiết:

Ta có: 

\(\left\{ \begin{array}{l}
x = 3y + 1\,\,\left( 1 \right)\\
\left( {{a^2} + 1} \right)x + 6y = 2a\,\,\left( 2 \right)
\end{array} \right.\)

Từ (1) rút ra được x = 1 – 3y (*)

Thay vào phương trình (2) ta được :

\((a^2 + 1).(1 – 3y) + 6y = 2a\)

\(⇔ a^2 + 1 – 3(a^2 + 1)y + 6y = 2a\)

\(⇔ a^2 +1- 2a = 3a^2.y – 6y + 3y\)

\(⇔ ( a- 1)^2 = 3a^2y – 3y\)

\(⇔ 3(a^2 – 1).y = (a – 1)^2 \)  (**)

a) a = -1, phương trình (**) trở thành : \(0y = 4\)

Phương trình trên vô nghiệm

Vậy hệ phương trình khi a = -1 vô nghiệm.

b) a = 0, phương trình (**) trở thành \(-3y = 1 ⇔ y =  - \dfrac{1}{3}\)

Thay  \(y =  - \dfrac{1}{3}\) vào (*) ta được x = 2.

Vậy hệ phương trình khi a = 0 có nghiệm duy nhất \(\left( {2; - \dfrac{1}{3}} \right)\)

c) a = 1, phương trình (**) trở thành: \(0y = 0\)

Phương trình nghiệm đúng với mọi y.

Vậy hệ phương trình khi a = 1 có vô số nghiệm dạng \((1 – 3y; y)\) (y ∈ R).