Bài 14 trang 15 SGK Toán 9 tập 2

Giải các hệ phương trình bằng phương pháp thế:

LG a

\(\left\{\begin{matrix} x + y\sqrt{5} = 0& & \\ x\sqrt{5} + 3y = 1 - \sqrt{5}& & \end{matrix}\right.\)

Phương pháp giải:

Rút \(x\) từ phương trình thứ nhất \(x + y\sqrt 5  = 0\) rồi thế vào phương trình thứ hai ta được phương trình ẩn \(y.\)  Giải phương trình này ta tìm được \(y,\) từ đó suy ra \(x.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\left\{ \matrix{
x + y\sqrt 5 = 0 \hfill \cr 
x\sqrt 5 + 3y = 1 - \sqrt 5 \hfill \cr} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = - y\sqrt 5 \hfill \cr 
\left( { - y\sqrt 5 } \right).\sqrt 5 + 3y = 1 - \sqrt 5 \hfill \cr} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = - y\sqrt 5 \hfill \cr 
- 5y + 3y = 1 - \sqrt 5 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = - y\sqrt 5 \hfill \cr 
- 2y = 1 - \sqrt 5 \hfill \cr} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = - y\sqrt 5 \hfill \cr 
y = \dfrac{1 - \sqrt 5 }{ - 2} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = - y\sqrt 5 \hfill \cr 
y = \dfrac{\sqrt 5 - 1}{2} \hfill \cr} \right.\) 

\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = - \dfrac{\sqrt 5 - 1}{ 2}.\sqrt 5 \hfill \cr 
y = \dfrac{\sqrt 5 - 1}{2} \hfill \cr} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = - \dfrac{5 - \sqrt 5 }{2} \hfill \cr 
y = \dfrac{\sqrt 5 - 1}{2} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = \dfrac{\sqrt 5 - 5}{ 2} \hfill \cr 
y = \dfrac{\sqrt 5 - 1}{ 2} \hfill \cr} \right.\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất \( {\left(\dfrac{\sqrt 5 - 5}{ 2} ; \dfrac{\sqrt 5 - 1}{ 2} \right)}\)

LG b

\(\left\{\begin{matrix} (2 - \sqrt{3})x - 3y = 2 + 5\sqrt{3}& & \\ 4x + y = 4 -2\sqrt{3}& & \end{matrix}\right.\)

Phương pháp giải:

Rút \(y\) từ phương trình thứ hai \(4x + y = 4 - 2\sqrt 3 \) rồi thế vào phương trình thứ nhất ta được phương trình ẩn \(x.\) Giải phương trình này ta tìm được \(x,\) từ đó suy ra \(y.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\left\{ \matrix{
\left( {2 - \sqrt 3 } \right)x - 3y = 2 + 5\sqrt 3 \hfill \cr 
4x + y = 4 - 2\sqrt 3 \hfill \cr} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
\left( {2 - \sqrt 3 } \right)x - 3\left( {4 - 2\sqrt 3 - 4x} \right) = 2 + 5\sqrt 3  \      (1) \hfill \cr 
y = 4 - 2\sqrt 3 - 4x \     (2) \hfill \cr} \right.\)

Giải phương trình \((1)\), ta được:

\(( 2 - \sqrt 3 )x - 3(4 - 2\sqrt 3 - 4x) = 2 + 5\sqrt 3\)

\(\Leftrightarrow 2x -\sqrt 3 x -12 + 6 \sqrt 3 + 12x=2+ 5 \sqrt 3\)

\(\Leftrightarrow 2x -\sqrt 3 x + 12x=2+ 5 \sqrt 3 +12 -6 \sqrt 3 \)

\(\Leftrightarrow (2 -\sqrt 3  + 12)x= 2+12 +5\sqrt 3 -6 \sqrt 3 \)

\(\Leftrightarrow (14- \sqrt 3)x=14-\sqrt 3\)

\(\Leftrightarrow x=1\)

Thay \(x=1\), vào \((2)\), ta được:

\(y = 4 - 2\sqrt 3 - 4.1=-2 \sqrt 3.\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất \((1; -2 \sqrt 3).\)