Bài 13 trang 82 SGK Hình học 12 Nâng cao

Tìm toạ độ tâm và tính bán kính của mỗi mặt cầu sau đây :

LG a

\({x^2} + {y^2} + {z^2} - 8x + 2y + 1 = 0\)

Phương pháp giải:

Biến đổi phương trình về dạng \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}\) suy ra tâm I(a;b;c) bán kính R.

Hoặc mặt cầu \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\) có tâm I(a;b;c) bán kính R=\(\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} \)

Lời giải chi tiết:

Ta có

\(\eqalign{
& {x^2} + {y^2} + {z^2} - 8x + 2y + 1 = 0 \cr 
& \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 8x + 16} \right) + \left( {{y^2} + 2y + 1} \right) + {z^2} = 16 \cr 
& \Leftrightarrow {\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {z^2} = 16 \cr} \)

Mặt cầu có tâm \(I\left( {4; - 1;0} \right)\) và có bán kính R = 4.

Cách khác:

Ta có: a=4,b=-1,c=0,d=1 và \(R = \sqrt {16 + 1 + 0 - 1}  = 4\).

Vậy tâm \(I\left( {4; - 1;0} \right)\) và có bán kính R = 4.

LG b

\(3{x^2} + 3{y^2} + 3{z^2} + 6x - 3y + 15z - 2 = 0\)

Lời giải chi tiết:

Ta có

\(\eqalign{
& 3{x^2} + 3{y^2} + 3{z^2} + 6x - 3y + 15z - 2 = 0 \cr 
& \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - y + 5z - {2 \over 3} = 0 \cr 
& \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - {1 \over 2}} \right)^2} + {\left( {z + {5 \over 2}} \right)^2} = {{49} \over 6} \cr} \)

Mặt cầu có tâm \(I\left( { - 1;{1 \over 2}; - {5 \over 2}} \right)\) và có bán kính \(R = {{7\sqrt 6 } \over 6}\).

Cách khác:

Ta có: a=-1,b=1/2,c=-5/2,d=-2/3 và \(R = \sqrt {1 + \frac{1}{4} + \frac{{25}}{4} + \frac{2}{3}}  = \frac{{7\sqrt 6 }}{6}\).

Vậy tâm \(I\left( { - 1;{1 \over 2}; - {5 \over 2}} \right)\) và có bán kính \(R = {{7\sqrt 6 } \over 6}\).

LG c

\(9{x^2} + 9{y^2} + 9{z^2} - 6x + 18y + 1 = 0\)

Lời giải chi tiết:

\(\eqalign{
& 9{x^2} + 9{y^2} + 9{z^2} - 6x + 18y + 1 = 0 \cr 
& \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - {2 \over 3}x + 2y + {1 \over 9} = 0 \cr 
& \Leftrightarrow {\left( {x - {1 \over 3}} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {z^2} = 1 \cr} \)

Mặt cầu có tâm \(I\left( {{1 \over 3}; - 1;0} \right)\) và có bán kính R = 1.

Cách khác:

Ta có: a=1/3,b=-1,c=0,d=1/9 và \(R = \sqrt { \frac{1}{9} +1+0- \frac{{1}}{9}}  =1\).

Vậy tâm \(I\left( {{1 \over 3}; - 1;0} \right)\) và có bán kính R = 1.