Bài 1 trang 80 SGK Hình học 12 Nâng cao

Cho các vectơ: \(\overrightarrow u  = \overrightarrow i  - 2\overrightarrow j \,;\) \(\overrightarrow v  = 3\overrightarrow i  + 5\left( {\overrightarrow j  - \overrightarrow k } \right)\,;\) \(\overrightarrow {\rm{w}}  = 2\overrightarrow i  - \overrightarrow k  + 3\overrightarrow j \)

LG a

Tìm toạ độ của các vectơ đó.

Phương pháp giải:

Sử dụng lý thuyết:

\(\begin{array}{l}
\overrightarrow u = a\overrightarrow i + b\overrightarrow j + c\overrightarrow k \\
\Rightarrow \overrightarrow u = \left( {a;b;c} \right)
\end{array}\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}
\overrightarrow u = \overrightarrow i - 2\overrightarrow j \\= 1.\overrightarrow i + \left( { - 2} \right)\overrightarrow j + 0\overrightarrow k \\
\Rightarrow \overrightarrow u = \left( {1; - 2;0} \right)\\
\overrightarrow v = 3\overrightarrow i + 5\left( {\overrightarrow j - \overrightarrow k } \right) \\= 3\overrightarrow i + 5\overrightarrow j - 5\overrightarrow k \\
\Rightarrow \overrightarrow v = \left( {3;5; - 5} \right)\\
\overrightarrow k = 2\overrightarrow i - \overrightarrow k + 3\overrightarrow j \\= 2\overrightarrow i + 3\overrightarrow j - \overrightarrow k \\
\Rightarrow \overrightarrow k = \left( {2;3; - 1} \right)
\end{array}\)

LG b

Tìm côsin của các góc \(\left( {\overrightarrow v ,\overrightarrow i } \right)\,;\,\left( {\overrightarrow v ,\overrightarrow j } \right)\,;\,\left( {\overrightarrow v ,\overrightarrow k } \right)\).

Phương pháp giải:

Cô sin góc hợp bởi hai véc tơ:

\(\begin{array}{l}
\overrightarrow u = \left( {{a_1};{b_1};{c_1}} \right),\overrightarrow v = \left( {{a_2};{b_2};{c_2}} \right)\\
\Rightarrow \cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = \frac{{\overrightarrow u .\overrightarrow v }}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|}}\\
= \frac{{{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2} + {c_1}{c_2}}}{{\sqrt {a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} .\sqrt {a_2^2 + b_2^2 + c_2^2} }}
\end{array}\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\overrightarrow i  = \left( {1;0;0} \right),\overrightarrow j \left( {0;1;0} \right),\) \(\overrightarrow k  = \left( {0;0;1} \right)\)

\(\eqalign{
& \cos \left( {\overrightarrow v ,\overrightarrow i } \right) = {{\overrightarrow v .\overrightarrow i } \over {\left| {\overrightarrow v } \right|\left| {\overrightarrow i } \right|}} \cr & = \frac{{3.1 + 5.0 - 5.0}}{{\sqrt {9 + 25 + 25} .\sqrt 1 }}= {3 \over {\sqrt {59} }} \cr 
& \cos \left( {\overrightarrow v ,\overrightarrow j } \right) = {{\overrightarrow v .\overrightarrow j } \over {\left| {\overrightarrow v } \right|\left| {\overrightarrow j } \right|}} \cr & = \frac{{3.0 + 5.1 - 5.0}}{{\sqrt {9 + 25 + 25} .\sqrt 1 }}= {5 \over {\sqrt {59} }} \cr 
& \cos \left( {\overrightarrow v ,\overrightarrow k } \right) = {{\overrightarrow v .\overrightarrow k } \over {\left| {\overrightarrow v } \right|\left| {\overrightarrow k } \right|}} \cr & = \frac{{3.0 + 5.0 - 5.1}}{{\sqrt {9 + 25 + 25} .\sqrt 1 }}= {{ - 5} \over {\sqrt {59} }} \cr} \)

LG c

Tính các tích vô hướng \(\overrightarrow u .\overrightarrow v \,,\,\overrightarrow u .\overrightarrow {\rm{w}} \,,\,\overrightarrow v .\overrightarrow {\rm{w}} \).

Phương pháp giải:

\(\begin{array}{l}
\overrightarrow u = \left( {{a_1};{b_1};{c_1}} \right),\overrightarrow v = \left( {{a_2};{b_2};{c_2}} \right)\\
\Rightarrow \overrightarrow u .\overrightarrow v = {a_1}{a_2} + {b_1}{b_2} + {c_1}{c_2}
\end{array}\)

Lời giải chi tiết:

\(\eqalign{
& \overrightarrow u .\overrightarrow v = 1.3 - 2.5 + 0\left( { - 5} \right) = - 7 \cr 
& \overrightarrow u .\overrightarrow w = 1.2 - 2.3 + 0\left( { - 1} \right) = - 4 \cr 
& \overrightarrow v .\overrightarrow w = 3.2 + 5.3 + (-5).(-1) = 26 \cr} \)