Bài 11 trang 81 SGK Hình học 12 Nâng cao

Cho bốn điểm A(1 ; 0 ; 0), B(0 ; 1 ; 0), C(0 ; 0 ; 1) và D(-2 ; 1 ; -2).

LG a

Chứng minh rằng A, B, C, D là bốn đỉnh của một hình tứ diện.

Phương pháp giải:

Chứng minh \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AD} \) không đồng phẳng hay \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} \ne 0\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: 

\(\eqalign{
& \overrightarrow {AB} = \left( { - 1;1;0} \right),\overrightarrow {AC} = \left( { - 1;0;1} \right),\cr &\overrightarrow {AD} = \left( { - 3;1; - 2} \right) \cr 
& \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] \cr &= \left( {\left| \matrix{
1\,\,\,\,\,\,0 \hfill \cr 
0\,\,\,\,\,1 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
0\,\,\,\, - 1 \hfill \cr 
1\,\,\,\,\, - 1 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
- 1\,\,\,\,\,\,1 \hfill \cr 
- 1\,\,\,\,\,\,\,0 \hfill \cr} \right|} \right) \cr &= \left( { 1;1; 1} \right) \cr 
& \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} \cr &= 1 .(-3)+ 1.1 +1.(-2) = - 4 \ne 0 \cr} \)

Do đó ba vectơ \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AD} \) không đồng phẳng. Vậy A, B, C, D là 4 đỉnh của một tứ diện.

LG b

Tính góc giữa các đường thẳng chứa các cạnh đối của tứ diện đó.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính cô sin góc giữa hai véc tơ \(\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = \frac{{\overrightarrow u .\overrightarrow v }}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|}}\)

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\overrightarrow {CD}  = \left( { - 2;1; - 3} \right),\overrightarrow {BD}  = \left( { - 2;0; - 2} \right),\) \(\overrightarrow {BC}  = \left( {0; - 1;1} \right)\).

Gọi \(\alpha ,\beta ,\gamma \) lần lượt là góc tạo bởi các cặp đường thẳng AB và CD, AC và BD, AD và BC thì

\(\eqalign{
& \cos \alpha = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right)} \right| \cr &= {{\left| {2 + 1 + 0} \right|} \over {\sqrt 2 .\sqrt {14} }} = {{3\sqrt 7 } \over {14}} \cr 
& \cos \beta = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BD} } \right)} \right|\cr & = {{\left| {2 + 0 - 2} \right|} \over {\sqrt 2 .\sqrt 8 }} = 0 \Rightarrow AC \bot BD \cr 
& \cos \gamma = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {BC} } \right)} \right| \cr & = {{\left| {0 - 1 - 2} \right|} \over {\sqrt 2 .\sqrt {14} }} = {{3\sqrt 7 } \over {14}} \cr} \)

LG c

Tính thể tích tứ diện ABCD và độ dài đường cao của tứ diện kẻ từ đỉnh A.

Phương pháp giải:

Tính thể tích theo công thức \(V = {1 \over 6}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} } \right|\)

Lời giải chi tiết:

Thể tích tứ diện ABCD là: \(V = {1 \over 6}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} } \right| \) \(= {1 \over 6}\left| { - 4} \right| = {2 \over 3}\)

Gọi \({h_A}\) là đường cao của tứ diện kẻ từ đỉnh A.
Ta có:

\(\eqalign{
& V = {1 \over 3}{h_A}.{S_{BCD}} \Rightarrow {h_A} = {{3V} \over {{S_{BCD}}}} \cr 
& {S_{BCD}} = {1 \over 2}\left| {\left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BD} } \right]} \right| = \sqrt 3 \cr} \)

Vậy \({h_A} = {{3.{2 \over 3}} \over {\sqrt 3 }} = {{2\sqrt 3 } \over 3}\)