Bài 11 trang 48 Tài liệu dạy – học Toán 8 tập 1

Đề bài

Chứng minh rằng với mọi \(n \in N*\) thì \(A = {n^4} + 2{n^3} + 2{n^2} + 2n + 1\) không phải là số chính phương.

Lời giải chi tiết

Với mọi \(n \in {N^*}\) ta có: \({n^4} + 2{n^3} + 2{n^2} + 2n + 1 > {n^4} + 2{n^3} + {n^2} = {\left( {{n^2} + n} \right)^2}\)

Và

\(\eqalign{  & \,\,\,\,\,{n^4} + 2{n^3} + 2{n^2} + 2n + 1  \cr  &  = \left( {{n^4} + 2{n^2} + 1} \right) + \left( {2{n^3} + 2n} \right)  \cr  &  = {\left( {{n^2} + 1} \right)^2} + 2n\left( {{n^2} + 1} \right)  \cr  &  < {\left( {{n^2} + 1} \right)^2} + 2n\left( {{n^2} + 1} \right) + 1  \cr  &  = {\left( {{n^2} + 1 + n} \right)^2} = {\left( {{n^2} + n + 1} \right)^2} \cr} \)

Do đó \({\left( {{n^2} + n} \right)^2} < A < {\left( {{n^2} + n + 1} \right)^2}\)

Mà \({\left( {{n^2} + n} \right)^2}\) và \({\left( {{n^2} + n + 1} \right)^2}\) là hai số chính phương liên tiếp.

Nên A không phải là số chính phương.