Bài 6: Bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit

a) Phương pháp đưa về cùng cơ số

- Nếu \(a>1\):

+ \(a^x>a^y\Leftrightarrow x>y\)

​+ \(a^{f(x)}>a^{g(x)}\Leftrightarrow f(x)>g(x)\)

- Nếu \(0 < a < 1\):

\({a^{f(x)}} > {a^{g(x)}} \Leftrightarrow f(x) > g(x)\)

b) Phương pháp lôgarit hóa

- Nếu \({a^{f(x)}} > b{\rm{  }}(1)\)

\((1) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
a > 1\\
f(x) > {\log _a}b
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
0 < a < 1\\
f(x) < {\log _a}b
\end{array} \right.
\end{array} \right.\)

- Nếu \({a^{f(x)}} > {b^{g(x)}}{\rm{ }}(2)\)

\((2) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
a > 1\\
f(x) > g(x).{\log _a}b
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
0 < a < 1\\
f(x) < g(x).{\log _a}b
\end{array} \right.
\end{array} \right.\)

c) Phương pháp đặt ẩn phụ

- Kiểu 1: Đặt 1 ẩn đưa về phương trình theo 1 ẩn mới

+ \(a.m^{2f(x)}+b.m^{f(x)}+c>0\)​: Đặt \(t=m^{f(x)}\), ta có \(at^2+bt+c>0\)

+ \(a.m^{f(x)}+b.n^{f(x)}+c>0\) trong đó \(m.n=1\): Đặt \(t=m^{f(x)}\), ta có \(a.t+b.\frac{1}{t}+c>0\)\(\Leftrightarrow at^2+ct+b>0\)

+ \(a.m^{2f(x)}+b.m^{f(x)}.n^{g(x)}+c.n^{g(x)}>0\)

Chia cả 2 vế cho \(n^{2g(x)}\), ta có:

​\(a.\left [ \frac{m^{f(x)}}{n^{g(x)}} \right ]^2+b.\frac{m^{f(x)}}{n^{g(x)}} +c>0\)

Đặt \(t=\frac{m^{f(x)}}{n^{g(x)}}\), ta có \(at^2+bt+c>0\)

- Kiểu 2: Đặt 1 ẩn nhưng không làm mất ẩn ban đầu. Khi đó, xử lý phương trình theo các cách sau:

+ Đưa về bất phương trình tích.

+ Xem ẩn ban đầu như là tham số.

- Kiểu 3: Đặt nhiều ẩn. Khi đó xử lý phương trình theo các cách sau:

+ Đưa về bất phương trình tích.

+ Xem 1 ẩn là tham số.

d) Phương pháp hàm số

- Xét hàm số \(y=a^x\):

+ Nếu \(a>1\): \(y=a^x\) đồng biến trên \(\mathbb{R}.\)

+ Nếu \(0 < a < 1:y = {a^x}\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}.\)

- Tổng của hai hàm số đồng biến (NB) trên D là hàm số đồng biến (NB) trên D.

- Tích của hai hàm số đồng biến và nhận giá trị dương trên D là hàm số đồng biến trên D.

- Cho hàm số \(f(x)\) và \(g(x)\), nếu:

+ \(f(x)\)đồng biến trên D.

+ \(g(x)\) ​nghịch biến trên D.

⇒ \(f(x)-g(x)\) đồng biến trên D.

a) Phương pháp đưa về cùng cơ số

- Với \(a>1:\) \(\log_a \ f(x) >\log_a \ g(x)\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} f(x)>g(x)\\ g(x)>0 \end{matrix}\right.\)
- Với \(0 < a < 1:{\log _a}f(x) > {\log _a}g(x) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
f(x) < g(x)\\
f(x) > 0
\end{array} \right.\)

b) Phương pháp mũ hóa

Xét bất phương trình: \(\log_a \ f(x)> b \ \ (1)\) với \(0 < x \ne 1\)

- ​\(a>1, \ \ (1)\Leftrightarrow f(x)>a^b\)

​- \(0 < a < 1,(1) \Leftrightarrow 0 < f(x) < {a^b}\)

c) Phương pháp đặt ẩn phụ

Các kiểu đặt ẩn phụ: 

- Kiểu 1: Đặt 1 ẩn và đưa về phương trình theo một ẩn mới.

- Kiểu 2: Đặt 1 ẩn và không làm mất ẩn ban đầu.

+ Xem ẩn ban đầu là tham số

+ Bất phương trình tích

- Kiểu 3: Đặt nhiều ẩn

d) Phương pháp hàm số

Các nội dung cần nhớ:

- Xét hàm số \(y = {\log _a}x\,(0 < a \ne 1):\)

+ \(a>1, y =\log_a x\) đồng biến trên \((0;+\infty )\).

​+ \(0 < a < 1,y = {\log _a}x\) nghịch biến trên  \((0;+\infty )\).

- Xét hai hàm số \(f(x)\) và \(g(x):\)

+ Nếu \(f(x)\) và \(g(x)\) là hai hàm số đồng biến (nghịch biến) trên tập D thì \(f(x)+g(x)\) là hàm số đồng biến (nghịch biến) trên tập D.

+ Nếu \(f(x)\) và \(g(x)\) là hai hàm số đồng biến trên tập D và \(f(x).g(x)>0\) thì \(f(x).g(x)\) là hàm số đồng biến trên tập D.

+ Nếu \(f(x)\) đồng biến trên D, \(g(x)\) nghịch biến trên D:

\(f(x)-g(x)\) đồng biến trên D.

\(f(x)-g(x)\) nghịch biến trên D.

3. Bài tập về Bất phương trình mũ

Ví dụ 1:

Giải bất phương trình  \({\left( {\sqrt 5 + 2} \right)^{x - 1}} \ge {\left( {\sqrt 5 - 2} \right)^{ - {x^2} + 3}}.\)

Lời giải:

Ta có: \(\left( {\sqrt 5 + 2} \right)\left( {\sqrt 5 - 2} \right) = 1 \Leftrightarrow \sqrt 5 - 2 = \frac{1}{{\sqrt 5 + 2}} = {\left( {\sqrt 5 + 2} \right)^{ - 1}}\)

Vậy: \({\left( {\sqrt 5 + 2} \right)^{x - 1}} \ge {\left( {\sqrt 5 - 2} \right)^{ - {x^2} + 3}}\) \(\Leftrightarrow {\left( {\sqrt 5 + 2} \right)^{x - 1}} \ge {\left( {\sqrt 5 + 2} \right)^{{x^2} - 3}} \Leftrightarrow x - 1 \ge {x^2} - 3\)

\(\Leftrightarrow {x^2} - x - 2 \le 0 \Leftrightarrow - 1 \le x \le 2\)

Vậy BPT có tập nghiệm \(S = \left[ { - 1;2} \right]\)

Ví dụ 2:

Giải bất phương trình \({2^{{x^2} - 4}} \ge {5^{x - 2}}.\)

Lời giải: 

Lấy logarit cơ số 2 hai vế của bất phương trình đã cho ta có: 

\({\log _2}\left( {{2^{{x^2} - 4}}} \right) \ge {\log _2}\left( {{5^{x - 2}}} \right) \Leftrightarrow {x^2} - 4 \ge \left( {x - 2} \right){\log _2}5\)

\(\Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {x + 2 - {{\log }_2}5} \right) \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x \ge 2\\ x \le {\log _2}5 - 2 \end{array} \right.\)

Vậy BPT có tập nghiệm \(S = \left( { - \infty ;{{\log }_2}5 - 2} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right).\)

Ví dụ 3:

Giải bất phương trình \({{\rm{3}}^{{\rm{2x + 1}}}} - {10.3^x} + 3 \le 0\).

Lời giải:

\({{\rm{3}}^{{\rm{2x + 1}}}} - {10.3^x} + 3 \le 0{\rm{ }}\) \(\Leftrightarrow 3.{\left( {{3^x}} \right)^2} - {10.3^x} + 3 \le 0\)(1)

Đặt \(t = {3^x} > 0\).

Ta có: (1) \(\Leftrightarrow 3{t^2} - 10t + 3 \le 0 \Leftrightarrow \frac{1}{3} \le t \le 3\)\(\Leftrightarrow \frac{1}{3} \le {3^x} \le 3 \Leftrightarrow {3^{ - 1}} \le {3^x} \le {3^1} \Leftrightarrow - 1 \le x \le 1\)

Vậy bất phương trình có nghiệm: \(S = \left[ { - 1;1} \right].\)

Ví dụ 4: 

Giải bất phương trình  \({3^x} + {4^x} > {5^x}.\)

Lời giải:

Chia 2 vế của phương trình cho ta được:

\({3^x} + {4^x} > {5^x} \Leftrightarrow {\left( {\frac{3}{5}} \right)^x} + {\left( {\frac{4}{5}} \right)^x} > 1.\)

Xét hàm số: \(f(x) = {\left( {\frac{3}{5}} \right)^x} + {\left( {\frac{4}{5}} \right)^x},\) TXĐ: \(D=\mathbb{R}\)  

\(f'(x) = {\left( {\frac{3}{5}} \right)^x}.\ln \left( {\frac{3}{5}} \right) + {\left( {\frac{4}{5}} \right)^x}.\ln \left( {\frac{4}{5}} \right) < 0,\forall x \in\mathbb{R}\)

Suy ra hàm số f(x) nghịch biến trên R.

Mặt khác: \(f(2) = 1 \Rightarrow f(x) > 1 \Leftrightarrow x < 2\) 

Vậy BPT có tập nghiệm là \(S = \left( { - \infty ;2} \right).\)

4. Bài tập về Bất phương trình lôgarit

Ví dụ 1:

Giải bất phương trình \({\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{x^2} - x - \frac{3}{4}} \right) \le 2 - {\log _2}5.\)

Lời giải:

\({\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{x^2} - x - \frac{3}{4}} \right) \le 2 - {\log _2}5 \Leftrightarrow {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{x^2} - x - \frac{3}{4}} \right) \le {\log _{\frac{1}{2}}}\frac{1}{4} + {\log _{\frac{1}{2}}}5\)

\(\Leftrightarrow {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{x^2} - x - \frac{3}{4}} \right) \le {\log _{\frac{1}{2}}}\frac{5}{4}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^2} - x - \frac{3}{4} \ge \frac{5}{4} \Leftrightarrow {x^2} - x - 2 \ge 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x \le - 1\\ x \ge 2 \end{array} \right. \end{array}\)

Vậy tập nghiệm bất phương trình là \(S = \left( { - \infty ; - 1} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right)\).

Ví dụ 2: 

Giải bất phương trình \({\log _2}\left( {1 - {{\log }_9}x} \right) < 1.\)

Lời giải: 

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l} x > 0\\ 1 - 2{\log _9}x > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow 3 > x > 0\)  

Khi đó: \({\log _2}(1 - 2{\log _9}x) < 1 \Leftrightarrow 1 - 2{\log _9}x < 2 \Leftrightarrow {\log _9}x > - \frac{1}{2} \Leftrightarrow x > \frac{1}{3}\)

Kết hợp với điều kiện ta được \(S = \left( {\frac{1}{3};3} \right)\) là tập nghiệm của bất phương trình.

Ví dụ 3: 

Giải bất phương trình \(\log _2^2x - 5{\log _2}x - 6 \le 0.\)

Lời giải:

Đặt \(t = {\log _2}x,\) khi đó phương trình trở thành:

\(\begin{array}{l} {t^2} - 5t - 6 \le 0\\ \Leftrightarrow (t + 1)(t - 6) \le 0\\ \Leftrightarrow - 1 \le t \le 6 \end{array}\)

Do đó ta có:

\(\begin{array}{l} - 1 \le {\log _2}x \le 6\\ \Rightarrow {\log _2}\frac{1}{2} \le {\log _2}x \le {\log _2}64\\ \Rightarrow \frac{1}{2} \le x \le 64 \end{array}\)

Vậy tập nghiệm bất phương trình là \(S = \left[ {\frac{1}{2};64} \right].\)

Ví dụ 4:

Giải bất phương trình  \(x + {\log _3}\left( {x + 1} \right) > 3.\) 

Lời giải:

ĐK: \(x>1\)

Xét hàm số \(f(x) = x + {\log _3}(x + 1)\) trên \(\left( { - 1; + \infty } \right).\) 

Ta có \(f'(x) = 1 + \frac{1}{{(x + 1)\ln 3}} > 0\) 

\(\Rightarrow f(x)\) đồng biến trên \(\left( { - 1; + \infty } \right).\)   

Mặt khác \(f(2) = 3\) 

Do đó: \(f(x) > 3 \Rightarrow f(x) > f(2) \Rightarrow x > 2\)  

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: \(S = \left( {2; + \infty } \right).\)

a) Phương pháp đưa về cùng cơ số

- Nếu \(a>1\):

+ \(a^x>a^y\Leftrightarrow x>y\)

​+ \(a^{f(x)}>a^{g(x)}\Leftrightarrow f(x)>g(x)\)

- Nếu \(0 < a < 1\):

\({a^{f(x)}} > {a^{g(x)}} \Leftrightarrow f(x) > g(x)\)

b) Phương pháp lôgarit hóa

- Nếu \({a^{f(x)}} > b{\rm{  }}(1)\)

\((1) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
a > 1\\
f(x) > {\log _a}b
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
0 < a < 1\\
f(x) < {\log _a}b
\end{array} \right.
\end{array} \right.\)

- Nếu \({a^{f(x)}} > {b^{g(x)}}{\rm{ }}(2)\)

\((2) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
a > 1\\
f(x) > g(x).{\log _a}b
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
0 < a < 1\\
f(x) < g(x).{\log _a}b
\end{array} \right.
\end{array} \right.\)

c) Phương pháp đặt ẩn phụ

- Kiểu 1: Đặt 1 ẩn đưa về phương trình theo 1 ẩn mới

+ \(a.m^{2f(x)}+b.m^{f(x)}+c>0\)​: Đặt \(t=m^{f(x)}\), ta có \(at^2+bt+c>0\)

+ \(a.m^{f(x)}+b.n^{f(x)}+c>0\) trong đó \(m.n=1\): Đặt \(t=m^{f(x)}\), ta có \(a.t+b.\frac{1}{t}+c>0\)\(\Leftrightarrow at^2+ct+b>0\)

+ \(a.m^{2f(x)}+b.m^{f(x)}.n^{g(x)}+c.n^{g(x)}>0\)

Chia cả 2 vế cho \(n^{2g(x)}\), ta có:

​\(a.\left [ \frac{m^{f(x)}}{n^{g(x)}} \right ]^2+b.\frac{m^{f(x)}}{n^{g(x)}} +c>0\)

Đặt \(t=\frac{m^{f(x)}}{n^{g(x)}}\), ta có \(at^2+bt+c>0\)

- Kiểu 2: Đặt 1 ẩn nhưng không làm mất ẩn ban đầu. Khi đó, xử lý phương trình theo các cách sau:

+ Đưa về bất phương trình tích.

+ Xem ẩn ban đầu như là tham số.

- Kiểu 3: Đặt nhiều ẩn. Khi đó xử lý phương trình theo các cách sau:

+ Đưa về bất phương trình tích.

+ Xem 1 ẩn là tham số.

d) Phương pháp hàm số

- Xét hàm số \(y=a^x\):

+ Nếu \(a>1\): \(y=a^x\) đồng biến trên \(\mathbb{R}.\)

+ Nếu \(0 < a < 1:y = {a^x}\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}.\)

- Tổng của hai hàm số đồng biến (NB) trên D là hàm số đồng biến (NB) trên D.

- Tích của hai hàm số đồng biến và nhận giá trị dương trên D là hàm số đồng biến trên D.

- Cho hàm số \(f(x)\) và \(g(x)\), nếu:

+ \(f(x)\)đồng biến trên D.

+ \(g(x)\) ​nghịch biến trên D.

⇒ \(f(x)-g(x)\) đồng biến trên D.

a) Phương pháp đưa về cùng cơ số

- Với \(a>1:\) \(\log_a \ f(x) >\log_a \ g(x)\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} f(x)>g(x)\\ g(x)>0 \end{matrix}\right.\)
- Với \(0 < a < 1:{\log _a}f(x) > {\log _a}g(x) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
f(x) < g(x)\\
f(x) > 0
\end{array} \right.\)

b) Phương pháp mũ hóa

Xét bất phương trình: \(\log_a \ f(x)> b \ \ (1)\) với \(0 < x \ne 1\)

- ​\(a>1, \ \ (1)\Leftrightarrow f(x)>a^b\)

​- \(0 < a < 1,(1) \Leftrightarrow 0 < f(x) < {a^b}\)

c) Phương pháp đặt ẩn phụ

Các kiểu đặt ẩn phụ: 

- Kiểu 1: Đặt 1 ẩn và đưa về phương trình theo một ẩn mới.

- Kiểu 2: Đặt 1 ẩn và không làm mất ẩn ban đầu.

+ Xem ẩn ban đầu là tham số

+ Bất phương trình tích

- Kiểu 3: Đặt nhiều ẩn

d) Phương pháp hàm số

Các nội dung cần nhớ:

- Xét hàm số \(y = {\log _a}x\,(0 < a \ne 1):\)

+ \(a>1, y =\log_a x\) đồng biến trên \((0;+\infty )\).

​+ \(0 < a < 1,y = {\log _a}x\) nghịch biến trên  \((0;+\infty )\).

- Xét hai hàm số \(f(x)\) và \(g(x):\)

+ Nếu \(f(x)\) và \(g(x)\) là hai hàm số đồng biến (nghịch biến) trên tập D thì \(f(x)+g(x)\) là hàm số đồng biến (nghịch biến) trên tập D.

+ Nếu \(f(x)\) và \(g(x)\) là hai hàm số đồng biến trên tập D và \(f(x).g(x)>0\) thì \(f(x).g(x)\) là hàm số đồng biến trên tập D.

+ Nếu \(f(x)\) đồng biến trên D, \(g(x)\) nghịch biến trên D:

\(f(x)-g(x)\) đồng biến trên D.

\(f(x)-g(x)\) nghịch biến trên D.

3. Bài tập về Bất phương trình mũ

Ví dụ 1:

Giải bất phương trình  \({\left( {\sqrt 5 + 2} \right)^{x - 1}} \ge {\left( {\sqrt 5 - 2} \right)^{ - {x^2} + 3}}.\)

Lời giải:

Ta có: \(\left( {\sqrt 5 + 2} \right)\left( {\sqrt 5 - 2} \right) = 1 \Leftrightarrow \sqrt 5 - 2 = \frac{1}{{\sqrt 5 + 2}} = {\left( {\sqrt 5 + 2} \right)^{ - 1}}\)

Vậy: \({\left( {\sqrt 5 + 2} \right)^{x - 1}} \ge {\left( {\sqrt 5 - 2} \right)^{ - {x^2} + 3}}\) \(\Leftrightarrow {\left( {\sqrt 5 + 2} \right)^{x - 1}} \ge {\left( {\sqrt 5 + 2} \right)^{{x^2} - 3}} \Leftrightarrow x - 1 \ge {x^2} - 3\)

\(\Leftrightarrow {x^2} - x - 2 \le 0 \Leftrightarrow - 1 \le x \le 2\)

Vậy BPT có tập nghiệm \(S = \left[ { - 1;2} \right]\)

Ví dụ 2:

Giải bất phương trình \({2^{{x^2} - 4}} \ge {5^{x - 2}}.\)

Lời giải: 

Lấy logarit cơ số 2 hai vế của bất phương trình đã cho ta có: 

\({\log _2}\left( {{2^{{x^2} - 4}}} \right) \ge {\log _2}\left( {{5^{x - 2}}} \right) \Leftrightarrow {x^2} - 4 \ge \left( {x - 2} \right){\log _2}5\)

\(\Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {x + 2 - {{\log }_2}5} \right) \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x \ge 2\\ x \le {\log _2}5 - 2 \end{array} \right.\)

Vậy BPT có tập nghiệm \(S = \left( { - \infty ;{{\log }_2}5 - 2} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right).\)

Ví dụ 3:

Giải bất phương trình \({{\rm{3}}^{{\rm{2x + 1}}}} - {10.3^x} + 3 \le 0\).

Lời giải:

\({{\rm{3}}^{{\rm{2x + 1}}}} - {10.3^x} + 3 \le 0{\rm{ }}\) \(\Leftrightarrow 3.{\left( {{3^x}} \right)^2} - {10.3^x} + 3 \le 0\)(1)

Đặt \(t = {3^x} > 0\).

Ta có: (1) \(\Leftrightarrow 3{t^2} - 10t + 3 \le 0 \Leftrightarrow \frac{1}{3} \le t \le 3\)\(\Leftrightarrow \frac{1}{3} \le {3^x} \le 3 \Leftrightarrow {3^{ - 1}} \le {3^x} \le {3^1} \Leftrightarrow - 1 \le x \le 1\)

Vậy bất phương trình có nghiệm: \(S = \left[ { - 1;1} \right].\)

Ví dụ 4: 

Giải bất phương trình  \({3^x} + {4^x} > {5^x}.\)

Lời giải:

Chia 2 vế của phương trình cho ta được:

\({3^x} + {4^x} > {5^x} \Leftrightarrow {\left( {\frac{3}{5}} \right)^x} + {\left( {\frac{4}{5}} \right)^x} > 1.\)

Xét hàm số: \(f(x) = {\left( {\frac{3}{5}} \right)^x} + {\left( {\frac{4}{5}} \right)^x},\) TXĐ: \(D=\mathbb{R}\)  

\(f'(x) = {\left( {\frac{3}{5}} \right)^x}.\ln \left( {\frac{3}{5}} \right) + {\left( {\frac{4}{5}} \right)^x}.\ln \left( {\frac{4}{5}} \right) < 0,\forall x \in\mathbb{R}\)

Suy ra hàm số f(x) nghịch biến trên R.

Mặt khác: \(f(2) = 1 \Rightarrow f(x) > 1 \Leftrightarrow x < 2\) 

Vậy BPT có tập nghiệm là \(S = \left( { - \infty ;2} \right).\)

4. Bài tập về Bất phương trình lôgarit

Ví dụ 1:

Giải bất phương trình \({\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{x^2} - x - \frac{3}{4}} \right) \le 2 - {\log _2}5.\)

Lời giải:

\({\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{x^2} - x - \frac{3}{4}} \right) \le 2 - {\log _2}5 \Leftrightarrow {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{x^2} - x - \frac{3}{4}} \right) \le {\log _{\frac{1}{2}}}\frac{1}{4} + {\log _{\frac{1}{2}}}5\)

\(\Leftrightarrow {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{x^2} - x - \frac{3}{4}} \right) \le {\log _{\frac{1}{2}}}\frac{5}{4}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^2} - x - \frac{3}{4} \ge \frac{5}{4} \Leftrightarrow {x^2} - x - 2 \ge 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x \le - 1\\ x \ge 2 \end{array} \right. \end{array}\)

Vậy tập nghiệm bất phương trình là \(S = \left( { - \infty ; - 1} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right)\).

Ví dụ 2: 

Giải bất phương trình \({\log _2}\left( {1 - {{\log }_9}x} \right) < 1.\)

Lời giải: 

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l} x > 0\\ 1 - 2{\log _9}x > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow 3 > x > 0\)  

Khi đó: \({\log _2}(1 - 2{\log _9}x) < 1 \Leftrightarrow 1 - 2{\log _9}x < 2 \Leftrightarrow {\log _9}x > - \frac{1}{2} \Leftrightarrow x > \frac{1}{3}\)

Kết hợp với điều kiện ta được \(S = \left( {\frac{1}{3};3} \right)\) là tập nghiệm của bất phương trình.

Ví dụ 3: 

Giải bất phương trình \(\log _2^2x - 5{\log _2}x - 6 \le 0.\)

Lời giải:

Đặt \(t = {\log _2}x,\) khi đó phương trình trở thành:

\(\begin{array}{l} {t^2} - 5t - 6 \le 0\\ \Leftrightarrow (t + 1)(t - 6) \le 0\\ \Leftrightarrow - 1 \le t \le 6 \end{array}\)

Do đó ta có:

\(\begin{array}{l} - 1 \le {\log _2}x \le 6\\ \Rightarrow {\log _2}\frac{1}{2} \le {\log _2}x \le {\log _2}64\\ \Rightarrow \frac{1}{2} \le x \le 64 \end{array}\)

Vậy tập nghiệm bất phương trình là \(S = \left[ {\frac{1}{2};64} \right].\)

Ví dụ 4:

Giải bất phương trình  \(x + {\log _3}\left( {x + 1} \right) > 3.\) 

Lời giải:

ĐK: \(x>1\)

Xét hàm số \(f(x) = x + {\log _3}(x + 1)\) trên \(\left( { - 1; + \infty } \right).\) 

Ta có \(f'(x) = 1 + \frac{1}{{(x + 1)\ln 3}} > 0\) 

\(\Rightarrow f(x)\) đồng biến trên \(\left( { - 1; + \infty } \right).\)   

Mặt khác \(f(2) = 3\) 

Do đó: \(f(x) > 3 \Rightarrow f(x) > f(2) \Rightarrow x > 2\)  

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: \(S = \left( {2; + \infty } \right).\)