Bài 2: Hàm số lũy thừa

Hàm số luỹ thừa là hàm số có dạng \(y=x^{\alpha}\), trong đó \(\alpha\) là một hằng số tuỳ ý.
Từ định nghĩa các luỹ thừa, ta thấy: 

- Hàm số \(y=x^n\) với n nguyên dương, xác định với mọi \(x \in \mathbb{R}\).

- Hàm số \(y=x^n\), với n nguyên âm hoặc n = 0, xác định với mọi \(x \in \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\).

- Hàm số \(y=x^{\alpha}\), với \(\alpha\) không nguyên, có tập xác định là tập hợp các số thực dương \(\left( {0; + \infty } \right)\)

Người ta chứng minh được rằng hàm số lũy thừa liên tục trên tập xác định của nó.

Chú ý:

Theo định nghĩa, đẳng thức \(\sqrt[n]{x} = {x^{\frac{1}{n}}}\) chỉ xảy ra nếu \(x>0\) do đó, hàm số \(y=x^\frac{1}{n}\) không đồng nhất với hàm số \(y = \sqrt[n]{x}(n \in {\mathbb{N}^*})\). Chẳng hạn, hàm số \(y = \sqrt[3]{x}\) là hàm số căn bậc ba, xác định với mọi \(x \in \mathbb{R}\); còn hàm số luỹ thừa \(y=x^\frac{1}{3}\) chỉ xác định trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

a) Định lý 

- Hàm số luỹ thừa \(y = {x^\alpha }(\alpha \in \mathbb{R})\) có đạo hàm tại mọi điểm \(x>0\) và \(\left( {{x^\alpha }} \right)' = \alpha {x^{\alpha - 1}}\).

- Nếu hàm số \(u=u(x)\) nhận giá trị dương và có đạo hàm trên \(J\) thì hàm số \(y = {u^\alpha }(x).\) cũng có đạo hàm trên \(J\) và \(\left( {{u^\alpha }\left( x \right)} \right)' = \alpha .{u^{\alpha - 1}}(x).u'(x)\).

b) Chú ý: 

- Áp dụng định lí trên, ta dễ dàng chứng minh công thức đạo hàm của hàm số căn bậc n sau đây: \(\left( {\sqrt[n]{x}} \right)' = \frac{1}{{n\sqrt[n]{{{x^{n - 1}}}}}}\) (với mọi \(x>0\) nếu n chẵn, với mọi \(x\ne0\) nếu n lẻ).

- Nếu \(u=u(x)\) là hàm số có đạo hàm trên \(J\) và thoả mãn điều kiện \(u(x)>0\) với mọi \(x \in J\) khi n chẵn, \(u(x)\ne0\) với mọi \(x \in J\) khi n lẻ thì:

\(\left( {\sqrt[n]{{u(x)}}} \right)' = \frac{{u'(x)}}{{n\sqrt[n]{{{u^{n - 1}}(x)}}}}\,\left( {\forall x \in J} \right)\)

Nhận xét: Do \(1^\alpha =1\) với mọi \(\alpha\) nên đồ thị của mọi hàm số lũy thừa đều đi qua điểm (1;1).

- Tập xác định của hàm số lũy thừa luôn chưa khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) với mọi \(\alpha \in \mathbb{R}\). 

- Trong trường hợp tổng quát ta khảo sát hàm số \(y=x^{\alpha}\) trên khoảng này, ta được bảng tóm tắt sau:

- Hình dạng của đồ thị hàm số lũy thừa trong các trường hợp xét trên tập \(\left( {0; + \infty } \right)\):

Chú ý: 

Khi khảo sát hàm số lũy thừa với số mũ cụ thể, ta phải xét hàm số đó trên toàn bộ tập xác định của nó.

4. Bài tập minh họa

Ví dụ 1:

Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) \(y=x^6\)

b) \(y=(1-x)^{\sqrt2}\)

c) \(y=(x+2)^{-3}\)

Lời giải: 

a) Hàm số \(y=x^6\) xác định với mọi \(x\in\mathbb{R}\).

Vậy tập xác định của hàm số là \(D=\mathbb{R}.\)

b) Hàm số \(y=(1-x)^{\sqrt2}\) xác định khi \(1 - x > 0 \Leftrightarrow x < 1.\)

Vậy tập xác định của hàm số là \(D = \left( { - \infty ;1} \right)\).

c) Hàm số \(y=(x+2)^{-3}\) xác định khi \(x + 2 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne - 2\)

Vậy tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2} \right\}.\) 

Ví dụ 2: 

Tính đạo hàm các hàm số

a) \(y = {x^{\sqrt 2 + 1}}\)

b) \(y = {x^{3\pi }}\)

c) \(y=x^{-0,9}\)

Lời giải:

a) \(y' = - \frac{1}{2}{x^{ - \frac{1}{2} - 1}} = - \frac{1}{2}{x^{ - \frac{3}{2}}} = - \frac{1}{{2\sqrt {{x^3}} }}.\)

b) \(y' = 3\pi .{x^{3\pi - 1}}\).

c) \(y' = - 0,9{x^{ - 0,9 - 1}} = - 0,9{x^{ - 1,9}}.\)

Ví dụ 3:

Tính đạo hàm các hàm số sau:

a) \(y = {(2x + 1)^\pi }\)

b) \(y = {(3{x^2} - 1)^{ - \sqrt 2 }}\)

c) \(y = {\left( {2{x^2} + x - 1} \right)^{\frac{2}{3}}}\)

Lời giải:

a) \(y' = \pi {(2x + 1)^{\pi - 1}}(2x + 1)' = 2\pi {(2x + 1)^{\pi - 1}}.\)

b) \(y' = - \sqrt 2 {\left( {3{x^2} - 1} \right)^{ - \sqrt 2 - 1}}(3{x^2} - 1)' = - 6\sqrt 2 x{(3{x^2} - 1)^{ - \sqrt 2 - 1}}.\)

c) \(y' = \frac{2}{3}{(2{x^2} + x - 1)^{ - \frac{1}{3}}}(4x + 1).\)

Hàm số luỹ thừa là hàm số có dạng \(y=x^{\alpha}\), trong đó \(\alpha\) là một hằng số tuỳ ý.
Từ định nghĩa các luỹ thừa, ta thấy: 

- Hàm số \(y=x^n\) với n nguyên dương, xác định với mọi \(x \in \mathbb{R}\).

- Hàm số \(y=x^n\), với n nguyên âm hoặc n = 0, xác định với mọi \(x \in \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\).

- Hàm số \(y=x^{\alpha}\), với \(\alpha\) không nguyên, có tập xác định là tập hợp các số thực dương \(\left( {0; + \infty } \right)\)

Người ta chứng minh được rằng hàm số lũy thừa liên tục trên tập xác định của nó.

Chú ý:

Theo định nghĩa, đẳng thức \(\sqrt[n]{x} = {x^{\frac{1}{n}}}\) chỉ xảy ra nếu \(x>0\) do đó, hàm số \(y=x^\frac{1}{n}\) không đồng nhất với hàm số \(y = \sqrt[n]{x}(n \in {\mathbb{N}^*})\). Chẳng hạn, hàm số \(y = \sqrt[3]{x}\) là hàm số căn bậc ba, xác định với mọi \(x \in \mathbb{R}\); còn hàm số luỹ thừa \(y=x^\frac{1}{3}\) chỉ xác định trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

a) Định lý 

- Hàm số luỹ thừa \(y = {x^\alpha }(\alpha \in \mathbb{R})\) có đạo hàm tại mọi điểm \(x>0\) và \(\left( {{x^\alpha }} \right)' = \alpha {x^{\alpha - 1}}\).

- Nếu hàm số \(u=u(x)\) nhận giá trị dương và có đạo hàm trên \(J\) thì hàm số \(y = {u^\alpha }(x).\) cũng có đạo hàm trên \(J\) và \(\left( {{u^\alpha }\left( x \right)} \right)' = \alpha .{u^{\alpha - 1}}(x).u'(x)\).

b) Chú ý: 

- Áp dụng định lí trên, ta dễ dàng chứng minh công thức đạo hàm của hàm số căn bậc n sau đây: \(\left( {\sqrt[n]{x}} \right)' = \frac{1}{{n\sqrt[n]{{{x^{n - 1}}}}}}\) (với mọi \(x>0\) nếu n chẵn, với mọi \(x\ne0\) nếu n lẻ).

- Nếu \(u=u(x)\) là hàm số có đạo hàm trên \(J\) và thoả mãn điều kiện \(u(x)>0\) với mọi \(x \in J\) khi n chẵn, \(u(x)\ne0\) với mọi \(x \in J\) khi n lẻ thì:

\(\left( {\sqrt[n]{{u(x)}}} \right)' = \frac{{u'(x)}}{{n\sqrt[n]{{{u^{n - 1}}(x)}}}}\,\left( {\forall x \in J} \right)\)

Nhận xét: Do \(1^\alpha =1\) với mọi \(\alpha\) nên đồ thị của mọi hàm số lũy thừa đều đi qua điểm (1;1).

- Tập xác định của hàm số lũy thừa luôn chưa khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) với mọi \(\alpha \in \mathbb{R}\). 

- Trong trường hợp tổng quát ta khảo sát hàm số \(y=x^{\alpha}\) trên khoảng này, ta được bảng tóm tắt sau:

- Hình dạng của đồ thị hàm số lũy thừa trong các trường hợp xét trên tập \(\left( {0; + \infty } \right)\):

Chú ý: 

Khi khảo sát hàm số lũy thừa với số mũ cụ thể, ta phải xét hàm số đó trên toàn bộ tập xác định của nó.

4. Bài tập minh họa

Ví dụ 1:

Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) \(y=x^6\)

b) \(y=(1-x)^{\sqrt2}\)

c) \(y=(x+2)^{-3}\)

Lời giải: 

a) Hàm số \(y=x^6\) xác định với mọi \(x\in\mathbb{R}\).

Vậy tập xác định của hàm số là \(D=\mathbb{R}.\)

b) Hàm số \(y=(1-x)^{\sqrt2}\) xác định khi \(1 - x > 0 \Leftrightarrow x < 1.\)

Vậy tập xác định của hàm số là \(D = \left( { - \infty ;1} \right)\).

c) Hàm số \(y=(x+2)^{-3}\) xác định khi \(x + 2 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne - 2\)

Vậy tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2} \right\}.\) 

Ví dụ 2: 

Tính đạo hàm các hàm số

a) \(y = {x^{\sqrt 2 + 1}}\)

b) \(y = {x^{3\pi }}\)

c) \(y=x^{-0,9}\)

Lời giải:

a) \(y' = - \frac{1}{2}{x^{ - \frac{1}{2} - 1}} = - \frac{1}{2}{x^{ - \frac{3}{2}}} = - \frac{1}{{2\sqrt {{x^3}} }}.\)

b) \(y' = 3\pi .{x^{3\pi - 1}}\).

c) \(y' = - 0,9{x^{ - 0,9 - 1}} = - 0,9{x^{ - 1,9}}.\)

Ví dụ 3:

Tính đạo hàm các hàm số sau:

a) \(y = {(2x + 1)^\pi }\)

b) \(y = {(3{x^2} - 1)^{ - \sqrt 2 }}\)

c) \(y = {\left( {2{x^2} + x - 1} \right)^{\frac{2}{3}}}\)

Lời giải:

a) \(y' = \pi {(2x + 1)^{\pi - 1}}(2x + 1)' = 2\pi {(2x + 1)^{\pi - 1}}.\)

b) \(y' = - \sqrt 2 {\left( {3{x^2} - 1} \right)^{ - \sqrt 2 - 1}}(3{x^2} - 1)' = - 6\sqrt 2 x{(3{x^2} - 1)^{ - \sqrt 2 - 1}}.\)

c) \(y' = \frac{2}{3}{(2{x^2} + x - 1)^{ - \frac{1}{3}}}(4x + 1).\)