Bài 5: Phương trình mũ và phương trình lôgarit

a) Phương pháp đưa về cùng cơ số

Với \(0

b) Phương pháp lôgarit hóa

Với \(0 < a \neq 1, log_ab\) là số x sao cho \(a^x=b\)

Với \(00:a^x=b\Leftrightarrow x=log_ab\)

c) Phương pháp đặt ẩn phụ

• Kiểu 1: Đặt ẩn đưa về phương trình theo 1 ẩn mới
  • Dạng 1: \(a.m^{2f(x)}+b.m^{f(x)}+c=0\)
    • Đặt \(t=m^{f(x)} \ \ \ (t>0)\)
    • Ta có: \(a.t^2+b.t+c=0\)
  • Dạng 2: \(a.m^{f(x)}+b.n^{f(x)}+c=0\) trong đó \(m.n=1\)
    • Đặt \(t=n^{f(x)}\Rightarrow m^{f(x)}=\frac{1}{t} \ (t>0)\)
    • Ta có:   \(a.\frac{1}{t} + b.t + c = 0 \Leftrightarrow a + b.{t^2} + c.t = 0 \Leftrightarrow b.{t^2} + ct + a = 0\).
  • Dạng 3: \(a.m^{2f(x)}+b.m^{f(x)}.n^{g(x)}+c.n^{2g(x)}=0\)
    • Chia 2 vế cho \(n^{2g(x)}\) ta có:
    • \(a.\left (\frac{m^{2f(x)}}{n^{2g(x)}} \right )^2+b.\left (\frac{m^{f(x)}}{n^{g(x)}} \right )^2+c=0\)
    • Đặt \(t=\frac{m^{f(x)}}{n^{g(x)}}\)
    • Ta có \(a.t^4+b.t^2+c=0\).

• Kiểu 2: Đặt 1 ẩn, nhưng không làm mất ẩn ban đầu. Khi đó 
  • Xem ẩn đầu là tham số
  • Đưa về phương trình tích
  • Đưa về hệ phương trình
• Kiểu 3: Đặt nhiều ẩn. Khi đó
  • Đưa về phương trình tích
  • Đưa về hệ phương trình

d) Phương pháp hàm số

• Xét hàm số \(y=a^x\):
  • Nếu \(a>1\): \(y=a^x\) đồng biến trên \(\mathbb{R}.\)
  • Nếu \(0
• Tổng của hai hàm số đồng biến (NB) trên D là hàm số đồng biến (NB) trên D.
• Tích của hai hàm số đồng biến và nhận giá trị dương trên D là hàm số đồng biến trên D.
• Cho hàm số \(f(x)\) và \(g(x)\), nếu:
  • \(f(x)\)đồng biến trên D.
  • \(g(x)\) ​nghịch biến trên D.

⇒ \(f(x)-g(x)\) đồng biến trên D.

2.2. Các phương pháp giải phương trình lôgarit

a) Phương pháp đưa về cùng cơ số

Với \(00 \end{matrix}\right.\)

b) Phương pháp mũ hóa

Với \(0

c) Phương pháp đặt ẩn phụ

• Kiểu 1: Đặt 1 ẩn đưa về phương trình theo 1 ẩn mới.
• Kiểu 2: Đặt 1 ẩn nhưng không làm mất ẩn ban đầu. Khi đó, xử lý phương trình theo các cách sau:
  • Xem ẩn ban đầu là tham số.
  • Đưa về phương trình tích.
• Kiểu 3: Đặt nhiều ẩn. Khi đó, xử lý phương trình theo các cách sau:
  • Đưa về phương trình tích
  • Xem 1 ẩn là tham số
  • Biểu thức đồng bậc: đưa về phương trình theo 1 ẩn mới.

d) Phương pháp hàm số

Các nội dung cần nhớ:

• Xét hàm số \(y = {\log _a}x\,(0 < a \ne 1):\)
  • \(a>1, y =\log_a x\) đồng biến trên \((0;+\infty )\).
  • ​\(0
• Xét hai hàm số \(f(x)\) và \(g(x):\)
  • Nếu \(f(x)\) và \(g(x)\) là hai hàm số đồng biến (nghịch biến) trên tập D thì \(f(x)+g(x)\) là hàm số đồng biến (nghịch biến) trên tập D.
  • Nếu \(f(x)\) và \(g(x)\) là hai hàm số đồng biến trên tập D và \(f(x).g(x)>0\) thì \(f(x).g(x)\) là hàm số đồng biến trên tập D.
  • Nếu \(f(x)\) đồng biến trên D, \(g(x)\) nghịch biến trên D:
    • \(f(x)-g(x)\) đồng biến trên D.
    • \(f(x)-g(x)\) nghịch biến trên D.
• Nếu hàm số \(f(x)\) đồng biến trên D và \(g(x)\) nghịch biến trên D thì phương trình \(f(x)=g(x)\) có tối đa một nghiệm. Khi đó nhẩm nghiệm và chứng minh nghiệm duy nhất.
• Xét phương trình \(f(x)=m\): Nếu \(f(x)\) đồng biến (nghịch biến) trên D thì phương trình có tối đa 1 nghiệm.Khi đó nhẩm nghiệm và chứng minh nghiệm duy nhất.

1. Giải phương trình mũ

Ví dụ 1:

Giải các phương trình mũ sau (Đưa về cùng cơ số):

a)  \({2^{{x^2} + 3x - 2}} = \frac{1}{4}\)

b) \({\left( {\frac{3}{4}} \right)^{x - 1}}.\sqrt {{{\left( {\frac{4}{3}} \right)}^{\frac{8}{x}}}} = \frac{9}{{16}}\)  

Lời giải:

a) \({2^{{x^2} + 3x - 2}} = \frac{1}{4} \Leftrightarrow {2^{{x^2} + 3x - 2}} = {2^{ - 2}}\)

\(\Leftrightarrow {x^2} + 3x - 2 = - 2 \Leftrightarrow {x^2} + 3x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = - 3 \end{array} \right.\)

Vậy phương trình có hai nghiệm x=0 và x=-3.

b) \({\left( {\frac{3}{4}} \right)^{x - 1}}.\sqrt {{{\left( {\frac{4}{3}} \right)}^{\frac{8}{x}}}} = \frac{9}{{16}}\)

 \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {\frac{3}{4}} \right)^{x - 1}}.{\left( {\frac{4}{3}} \right)^{\frac{4}{x}}} = {\left( {\frac{3}{4}} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {\left( {\frac{3}{4}} \right)^{x - 1}}.{\left( {\frac{3}{4}} \right)^{ - \frac{4}{x}}} = {\left( {\frac{3}{4}} \right)^2} \end{array}\)

 

\(\Leftrightarrow x - 1 - \frac{4}{x} = 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {x_1} = - 1\\ {x_2} = 3 \end{array} \right. \Rightarrow {x_1} + {x_2} = 3\).

Ví dụ 2:

Giải phương trình  \({3^x}{.2^{{x^2}}} = 1\) (Dùng phương pháp lôgarit hóa)

Lời giải:

Lấy logarit hai vế với cơ số 3, ta được:

\({3^x}{.2^{{x^2}}} = 1 \Leftrightarrow {\log _3}({3^x}{.2^{{x^2}}}) = {\log _3}1\)

\(\Leftrightarrow x + {x^2}{\log _3}2 = 0 \Leftrightarrow x\left( {1 + x{{\log }_3}2} \right) = 0\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ 1 + x{\log _3}2 = 0 \end{array} \right.\)\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = - \frac{1}{{{{\log }_3}2}} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = - {\log _2}3 \end{array} \right.\)

Vậy phương trình có nghiệm: \(x = 0,x = - {\log _2}3\).

Ví dụ 3: 

Giải các phương trình mũ sau (Dùng phương pháp đặt ẩn phụ)

a)  \({3.25^x} - {2.5^{x + 1}} + 7 = 0\)

b)  \({4^{{x^2} + x}} + {2^{1 - {x^2}}} = {2^{{{(x + 1)}^2}}} - 1\)

Lời giải:

a) Phương trình \(\Leftrightarrow {3.25^x} - {10.5^x} + 7 = 0\). Đặt \(t = {5^x}\,\left( {t > 0} \right)\)

Khi đó phương trình trở thành: \(3{t^2} - 10t + 7 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = 1\\ t = \frac{7}{3} \end{array} \right.\)

(*) Với \(t = 1 \Rightarrow {5^x} = 1 \Leftrightarrow x = 0\)

(*) Với \(t = \frac{7}{3} \Rightarrow {5^x} = \frac{7}{3} \Leftrightarrow x = {\log _5}\left( {\frac{7}{3}} \right)\)

Vậy phương trình có tập nghiệm: \(S = \left\{ {0;{{\log }_5}\left( {\frac{7}{3}} \right)} \right\}\).

b) Đặt: \(\left\{ \begin{array}{l} u = {4^{{x^2} + x}}\\ v = {2^{1 - {x^2}}} \end{array} \right.\,,u,v > 0\)

Nhận xét: \(u.v = {4^{{x^2} + x}}{.2^{1 - {x^2}}} = {2^{2({x^2} + x)}}{.2^{1 - {x^2}}} = {2^{{{(x + 1)}^2}}}\)

Khi đó phương trình tương đướng với:

\(u + v = uv + 1 \Leftrightarrow (u - 1)(v - 1) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} u = 1\\ v = 1 \end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {4^{{x^2} + x}} = 1\\ {2^{1 - {x^2}}} = 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {x^2} + x = 0\\ 1 - {x^2} = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = 1\\ x = - 1 \end{array} \right.\).

Ví dụ 4: 

a) \(x + {2.3^{{{\log }_2}x}} = 3\)

b) \({2^{x - 1}} - {2^{{x^2} - x}} = {(x - 1)^2}\)

Lời giải:

a) Điều kiện: \(x>0\)

\(x + {2.3^{{{\log }_2}x}} = 3 \Leftrightarrow {2.3^{{{\log }_2}x}} = 3 - x\) (*)

Nhận xét: 

+ Vế phải của phương trình là một hàm số nghịch biến.

+ Vế trái của phương trình là một hàm số đồng biến.

Do vậy nếu phương trình có nghiệm thì đó là nghiệm duy nhất.

Dễ thấy: \(x=1\) là nghiệm của phương trình (*).

Vậy \(x=1\) là nghiệm duy nhất của phương trình.

b) Ta có: \({(x - 1)^2} \ge 0 \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 \ge 0 \Leftrightarrow {x^2} - x \ge x - 1\)

Suy ra: \({2^{{x^2} - x}} \ge {2^{x - 1}} \Leftrightarrow {2^{x - 1}} - {2^{{x^2} - x}} \le 0\) (Do hàm số \(y=2^t\) đồng biến)

Vậy: \(\left\{ \begin{array}{l} VT \le 0\\ VP \ge 0 \end{array} \right.\)

Mà: \(VT=VP\)

Suy ra: \(VT=VP=0\)\(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {(x - 1)^2} = 0\\ {2^{x - 1}} = {2^{{x^2} - x}} \end{array} \right. \Leftrightarrow x = 1\)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất \(x=1.\)

2. Giải phương trình lôgarit

Ví dụ 5:

Giải phương trình \({\log _3}({9^{50}} + 6{x^2}) = {\log _{\sqrt 3 }}({3^{50}} + 2x)\) (Đưa về cùng cơ số)

Lời giải:

Điều kiện: \({3^{50}} + 2x > 0\), khi đó ta có:

\({\log _3}\left( {{9^{50}} + 6{x^2}} \right) = {\log _{\sqrt 3 }}\left( {{3^{50}} + 2x} \right) \Leftrightarrow {\log _3}\left( {{9^{50}} + 6{x^2}} \right) = {\log _3}{\left( {{3^{50}} + 2x} \right)^2}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {9^{50}} + 6{x^2} = {\left( {{3^{50}} + 2x} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {9^{50}} + 6{x^2} = {9^{50}} + 2.2x{.3^{50}} + 4{x^2}\\ \Leftrightarrow 2{x^2} - 4x{.3^{50}} = 0\\ \Leftrightarrow 2x(x - {2.3^{50}}) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0}\\ {x = {{2.3}^{50}}} \end{array}} \right. \end{array}\)

Ví dụ 6:

Giải phương trình \({\log _{{x^2} - 1}}\left( {2\sqrt 2 } \right) = \frac{1}{2}\) (Dùng phương pháp mũ hóa)

Lời giải:

Điều kiện: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x^2} - 1 > 0}\\ {{x^2} - 1 \ne 1} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x < - 1 \vee x > 1}\\ {x \ne \pm \sqrt 2 } \end{array}} \right.\)

\(\begin{array}{l} {\log _{{x^2} - 1}}\left( {2\sqrt 2 } \right) = \frac{1}{2} \Leftrightarrow 2\sqrt 2 = {\left( {{x^2} - 1} \right)^{\frac{1}{2}}} = \sqrt {{x^2} - 1} \\ \Leftrightarrow {x^2} - 1 = 8 \Leftrightarrow x = \pm 3. \end{array}\)

Vậy phương trình có hai nghiệm x=3 và x=-3.

Ví dụ 7: 

Giải phương trình  \(\log _{\frac{1}{2}}^2x + 2{\log _{\sqrt 2 }}x = 5\) (Đặt ẩn phụ)

Lời giải:

 \(\begin{array}{l} \log _{\frac{1}{2}}^2x + 2{\log _{\sqrt 2 }}x = 5 \Leftrightarrow {{\rm{[}} - {\log _2}x{\rm{]}}^2} + 4{\mathop{\rm log_2x}\nolimits} = 5\\ \Leftrightarrow \log _2^2x + 4\log_2 x = 5 \end{array}\)

Đặt: \(t = {\log _2}x.\) Phương trình trở thành:

\({t^2} + 4t - 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = - 5\\ t = 1 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\log }_2}x = - 5}\\ {{{\log }_2}x = 1} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = {2^{ - 5}}}\\ {x = 2} \end{array}.} \right.\)

Vậy phương trình có hai nghiệm: \(x=2\) và \(x=\frac{1}{32}\).

Ví dụ 8:

Giải phương trình \({\log _2}({x^2} - 4) + x = {\log _2}\left[ {8(x + 2)} \right]\) (Dùng phương pháp hàm số)

Lời giải:

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l} {x^2} - 4 > 0\\ x + 2 > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow x > 2.\)

Khi đó: 
\(\begin{array}{l} {\log _2}({x^2} - 4) + x = {\log _2}\left[ {8(x + 2)} \right]\\ \Leftrightarrow {\log _2}({x^2} - 4) - {\log _2}(x + 2) = 3 - x\\ \Leftrightarrow {\log _2}\frac{{{x^2} - 4}}{{x + 2}} = 3 - x\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {x - 2} \right) = 3 - x \end{array}\)

Nhận xét:

Hàm số \(y = {\log _2}(x - 2)\) là hàm số đồng biến.

Hàm số \(y=3-x\) là hàm số nghịch biến

Vậy nếu phương trình có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất.

Dễ thấy x=3 là nghiệm của phương trình.

Vậy phương trình có ngiệm duy nhất \(x=3.\)

 

a) Phương pháp đưa về cùng cơ số

Với \(0

b) Phương pháp lôgarit hóa

Với \(0 < a \neq 1, log_ab\) là số x sao cho \(a^x=b\)

Với \(00:a^x=b\Leftrightarrow x=log_ab\)

c) Phương pháp đặt ẩn phụ

• Kiểu 1: Đặt ẩn đưa về phương trình theo 1 ẩn mới
  • Dạng 1: \(a.m^{2f(x)}+b.m^{f(x)}+c=0\)
    • Đặt \(t=m^{f(x)} \ \ \ (t>0)\)
    • Ta có: \(a.t^2+b.t+c=0\)
  • Dạng 2: \(a.m^{f(x)}+b.n^{f(x)}+c=0\) trong đó \(m.n=1\)
    • Đặt \(t=n^{f(x)}\Rightarrow m^{f(x)}=\frac{1}{t} \ (t>0)\)
    • Ta có:   \(a.\frac{1}{t} + b.t + c = 0 \Leftrightarrow a + b.{t^2} + c.t = 0 \Leftrightarrow b.{t^2} + ct + a = 0\).
  • Dạng 3: \(a.m^{2f(x)}+b.m^{f(x)}.n^{g(x)}+c.n^{2g(x)}=0\)
    • Chia 2 vế cho \(n^{2g(x)}\) ta có:
    • \(a.\left (\frac{m^{2f(x)}}{n^{2g(x)}} \right )^2+b.\left (\frac{m^{f(x)}}{n^{g(x)}} \right )^2+c=0\)
    • Đặt \(t=\frac{m^{f(x)}}{n^{g(x)}}\)
    • Ta có \(a.t^4+b.t^2+c=0\).

• Kiểu 2: Đặt 1 ẩn, nhưng không làm mất ẩn ban đầu. Khi đó 
  • Xem ẩn đầu là tham số
  • Đưa về phương trình tích
  • Đưa về hệ phương trình
• Kiểu 3: Đặt nhiều ẩn. Khi đó
  • Đưa về phương trình tích
  • Đưa về hệ phương trình

d) Phương pháp hàm số

• Xét hàm số \(y=a^x\):
  • Nếu \(a>1\): \(y=a^x\) đồng biến trên \(\mathbb{R}.\)
  • Nếu \(0
• Tổng của hai hàm số đồng biến (NB) trên D là hàm số đồng biến (NB) trên D.
• Tích của hai hàm số đồng biến và nhận giá trị dương trên D là hàm số đồng biến trên D.
• Cho hàm số \(f(x)\) và \(g(x)\), nếu:
  • \(f(x)\)đồng biến trên D.
  • \(g(x)\) ​nghịch biến trên D.

⇒ \(f(x)-g(x)\) đồng biến trên D.

2.2. Các phương pháp giải phương trình lôgarit

a) Phương pháp đưa về cùng cơ số

Với \(00 \end{matrix}\right.\)

b) Phương pháp mũ hóa

Với \(0

c) Phương pháp đặt ẩn phụ

• Kiểu 1: Đặt 1 ẩn đưa về phương trình theo 1 ẩn mới.
• Kiểu 2: Đặt 1 ẩn nhưng không làm mất ẩn ban đầu. Khi đó, xử lý phương trình theo các cách sau:
  • Xem ẩn ban đầu là tham số.
  • Đưa về phương trình tích.
• Kiểu 3: Đặt nhiều ẩn. Khi đó, xử lý phương trình theo các cách sau:
  • Đưa về phương trình tích
  • Xem 1 ẩn là tham số
  • Biểu thức đồng bậc: đưa về phương trình theo 1 ẩn mới.

d) Phương pháp hàm số

Các nội dung cần nhớ:

• Xét hàm số \(y = {\log _a}x\,(0 < a \ne 1):\)
  • \(a>1, y =\log_a x\) đồng biến trên \((0;+\infty )\).
  • ​\(0
• Xét hai hàm số \(f(x)\) và \(g(x):\)
  • Nếu \(f(x)\) và \(g(x)\) là hai hàm số đồng biến (nghịch biến) trên tập D thì \(f(x)+g(x)\) là hàm số đồng biến (nghịch biến) trên tập D.
  • Nếu \(f(x)\) và \(g(x)\) là hai hàm số đồng biến trên tập D và \(f(x).g(x)>0\) thì \(f(x).g(x)\) là hàm số đồng biến trên tập D.
  • Nếu \(f(x)\) đồng biến trên D, \(g(x)\) nghịch biến trên D:
    • \(f(x)-g(x)\) đồng biến trên D.
    • \(f(x)-g(x)\) nghịch biến trên D.
• Nếu hàm số \(f(x)\) đồng biến trên D và \(g(x)\) nghịch biến trên D thì phương trình \(f(x)=g(x)\) có tối đa một nghiệm. Khi đó nhẩm nghiệm và chứng minh nghiệm duy nhất.
• Xét phương trình \(f(x)=m\): Nếu \(f(x)\) đồng biến (nghịch biến) trên D thì phương trình có tối đa 1 nghiệm.Khi đó nhẩm nghiệm và chứng minh nghiệm duy nhất.

1. Giải phương trình mũ

Ví dụ 1:

Giải các phương trình mũ sau (Đưa về cùng cơ số):

a)  \({2^{{x^2} + 3x - 2}} = \frac{1}{4}\)

b) \({\left( {\frac{3}{4}} \right)^{x - 1}}.\sqrt {{{\left( {\frac{4}{3}} \right)}^{\frac{8}{x}}}} = \frac{9}{{16}}\)  

Lời giải:

a) \({2^{{x^2} + 3x - 2}} = \frac{1}{4} \Leftrightarrow {2^{{x^2} + 3x - 2}} = {2^{ - 2}}\)

\(\Leftrightarrow {x^2} + 3x - 2 = - 2 \Leftrightarrow {x^2} + 3x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = - 3 \end{array} \right.\)

Vậy phương trình có hai nghiệm x=0 và x=-3.

b) \({\left( {\frac{3}{4}} \right)^{x - 1}}.\sqrt {{{\left( {\frac{4}{3}} \right)}^{\frac{8}{x}}}} = \frac{9}{{16}}\)

 \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {\frac{3}{4}} \right)^{x - 1}}.{\left( {\frac{4}{3}} \right)^{\frac{4}{x}}} = {\left( {\frac{3}{4}} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {\left( {\frac{3}{4}} \right)^{x - 1}}.{\left( {\frac{3}{4}} \right)^{ - \frac{4}{x}}} = {\left( {\frac{3}{4}} \right)^2} \end{array}\)

 

\(\Leftrightarrow x - 1 - \frac{4}{x} = 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {x_1} = - 1\\ {x_2} = 3 \end{array} \right. \Rightarrow {x_1} + {x_2} = 3\).

Ví dụ 2:

Giải phương trình  \({3^x}{.2^{{x^2}}} = 1\) (Dùng phương pháp lôgarit hóa)

Lời giải:

Lấy logarit hai vế với cơ số 3, ta được:

\({3^x}{.2^{{x^2}}} = 1 \Leftrightarrow {\log _3}({3^x}{.2^{{x^2}}}) = {\log _3}1\)

\(\Leftrightarrow x + {x^2}{\log _3}2 = 0 \Leftrightarrow x\left( {1 + x{{\log }_3}2} \right) = 0\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ 1 + x{\log _3}2 = 0 \end{array} \right.\)\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = - \frac{1}{{{{\log }_3}2}} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = - {\log _2}3 \end{array} \right.\)

Vậy phương trình có nghiệm: \(x = 0,x = - {\log _2}3\).

Ví dụ 3: 

Giải các phương trình mũ sau (Dùng phương pháp đặt ẩn phụ)

a)  \({3.25^x} - {2.5^{x + 1}} + 7 = 0\)

b)  \({4^{{x^2} + x}} + {2^{1 - {x^2}}} = {2^{{{(x + 1)}^2}}} - 1\)

Lời giải:

a) Phương trình \(\Leftrightarrow {3.25^x} - {10.5^x} + 7 = 0\). Đặt \(t = {5^x}\,\left( {t > 0} \right)\)

Khi đó phương trình trở thành: \(3{t^2} - 10t + 7 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = 1\\ t = \frac{7}{3} \end{array} \right.\)

(*) Với \(t = 1 \Rightarrow {5^x} = 1 \Leftrightarrow x = 0\)

(*) Với \(t = \frac{7}{3} \Rightarrow {5^x} = \frac{7}{3} \Leftrightarrow x = {\log _5}\left( {\frac{7}{3}} \right)\)

Vậy phương trình có tập nghiệm: \(S = \left\{ {0;{{\log }_5}\left( {\frac{7}{3}} \right)} \right\}\).

b) Đặt: \(\left\{ \begin{array}{l} u = {4^{{x^2} + x}}\\ v = {2^{1 - {x^2}}} \end{array} \right.\,,u,v > 0\)

Nhận xét: \(u.v = {4^{{x^2} + x}}{.2^{1 - {x^2}}} = {2^{2({x^2} + x)}}{.2^{1 - {x^2}}} = {2^{{{(x + 1)}^2}}}\)

Khi đó phương trình tương đướng với:

\(u + v = uv + 1 \Leftrightarrow (u - 1)(v - 1) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} u = 1\\ v = 1 \end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {4^{{x^2} + x}} = 1\\ {2^{1 - {x^2}}} = 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {x^2} + x = 0\\ 1 - {x^2} = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = 1\\ x = - 1 \end{array} \right.\).

Ví dụ 4: 

a) \(x + {2.3^{{{\log }_2}x}} = 3\)

b) \({2^{x - 1}} - {2^{{x^2} - x}} = {(x - 1)^2}\)

Lời giải:

a) Điều kiện: \(x>0\)

\(x + {2.3^{{{\log }_2}x}} = 3 \Leftrightarrow {2.3^{{{\log }_2}x}} = 3 - x\) (*)

Nhận xét: 

+ Vế phải của phương trình là một hàm số nghịch biến.

+ Vế trái của phương trình là một hàm số đồng biến.

Do vậy nếu phương trình có nghiệm thì đó là nghiệm duy nhất.

Dễ thấy: \(x=1\) là nghiệm của phương trình (*).

Vậy \(x=1\) là nghiệm duy nhất của phương trình.

b) Ta có: \({(x - 1)^2} \ge 0 \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 \ge 0 \Leftrightarrow {x^2} - x \ge x - 1\)

Suy ra: \({2^{{x^2} - x}} \ge {2^{x - 1}} \Leftrightarrow {2^{x - 1}} - {2^{{x^2} - x}} \le 0\) (Do hàm số \(y=2^t\) đồng biến)

Vậy: \(\left\{ \begin{array}{l} VT \le 0\\ VP \ge 0 \end{array} \right.\)

Mà: \(VT=VP\)

Suy ra: \(VT=VP=0\)\(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {(x - 1)^2} = 0\\ {2^{x - 1}} = {2^{{x^2} - x}} \end{array} \right. \Leftrightarrow x = 1\)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất \(x=1.\)

2. Giải phương trình lôgarit

Ví dụ 5:

Giải phương trình \({\log _3}({9^{50}} + 6{x^2}) = {\log _{\sqrt 3 }}({3^{50}} + 2x)\) (Đưa về cùng cơ số)

Lời giải:

Điều kiện: \({3^{50}} + 2x > 0\), khi đó ta có:

\({\log _3}\left( {{9^{50}} + 6{x^2}} \right) = {\log _{\sqrt 3 }}\left( {{3^{50}} + 2x} \right) \Leftrightarrow {\log _3}\left( {{9^{50}} + 6{x^2}} \right) = {\log _3}{\left( {{3^{50}} + 2x} \right)^2}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {9^{50}} + 6{x^2} = {\left( {{3^{50}} + 2x} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {9^{50}} + 6{x^2} = {9^{50}} + 2.2x{.3^{50}} + 4{x^2}\\ \Leftrightarrow 2{x^2} - 4x{.3^{50}} = 0\\ \Leftrightarrow 2x(x - {2.3^{50}}) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0}\\ {x = {{2.3}^{50}}} \end{array}} \right. \end{array}\)

Ví dụ 6:

Giải phương trình \({\log _{{x^2} - 1}}\left( {2\sqrt 2 } \right) = \frac{1}{2}\) (Dùng phương pháp mũ hóa)

Lời giải:

Điều kiện: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x^2} - 1 > 0}\\ {{x^2} - 1 \ne 1} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x < - 1 \vee x > 1}\\ {x \ne \pm \sqrt 2 } \end{array}} \right.\)

\(\begin{array}{l} {\log _{{x^2} - 1}}\left( {2\sqrt 2 } \right) = \frac{1}{2} \Leftrightarrow 2\sqrt 2 = {\left( {{x^2} - 1} \right)^{\frac{1}{2}}} = \sqrt {{x^2} - 1} \\ \Leftrightarrow {x^2} - 1 = 8 \Leftrightarrow x = \pm 3. \end{array}\)

Vậy phương trình có hai nghiệm x=3 và x=-3.

Ví dụ 7: 

Giải phương trình  \(\log _{\frac{1}{2}}^2x + 2{\log _{\sqrt 2 }}x = 5\) (Đặt ẩn phụ)

Lời giải:

 \(\begin{array}{l} \log _{\frac{1}{2}}^2x + 2{\log _{\sqrt 2 }}x = 5 \Leftrightarrow {{\rm{[}} - {\log _2}x{\rm{]}}^2} + 4{\mathop{\rm log_2x}\nolimits} = 5\\ \Leftrightarrow \log _2^2x + 4\log_2 x = 5 \end{array}\)

Đặt: \(t = {\log _2}x.\) Phương trình trở thành:

\({t^2} + 4t - 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = - 5\\ t = 1 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\log }_2}x = - 5}\\ {{{\log }_2}x = 1} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = {2^{ - 5}}}\\ {x = 2} \end{array}.} \right.\)

Vậy phương trình có hai nghiệm: \(x=2\) và \(x=\frac{1}{32}\).

Ví dụ 8:

Giải phương trình \({\log _2}({x^2} - 4) + x = {\log _2}\left[ {8(x + 2)} \right]\) (Dùng phương pháp hàm số)

Lời giải:

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l} {x^2} - 4 > 0\\ x + 2 > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow x > 2.\)

Khi đó: 
\(\begin{array}{l} {\log _2}({x^2} - 4) + x = {\log _2}\left[ {8(x + 2)} \right]\\ \Leftrightarrow {\log _2}({x^2} - 4) - {\log _2}(x + 2) = 3 - x\\ \Leftrightarrow {\log _2}\frac{{{x^2} - 4}}{{x + 2}} = 3 - x\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {x - 2} \right) = 3 - x \end{array}\)

Nhận xét:

Hàm số \(y = {\log _2}(x - 2)\) là hàm số đồng biến.

Hàm số \(y=3-x\) là hàm số nghịch biến

Vậy nếu phương trình có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất.

Dễ thấy x=3 là nghiệm của phương trình.

Vậy phương trình có ngiệm duy nhất \(x=3.\)