Ôn tập chương 1 Hàm số lượng giác và Phương trình lượng giác

a) Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sinx và cosx

Dạng phương trình:

\(a\sin {}^2x + b\sin x\cos x + c\cos {}^2x = d{\rm{  (1) }}\)

(\(a,b,c,d\): có ít nhất 2 hệ số khác không)

Phương pháp giải:

Cách 1:

Xét \(\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\) có là nghiệm của (1) hay không.

Xét \(\cos x \ne 0\), chia hai vế của (1) cho \({\cos ^2}x\) ta được:

\(a{\tan ^2}x + b\tan x + c = d(1 + {\tan ^2}x)\)

\( \Leftrightarrow \left( {a - d} \right){\tan ^2}x + b\tan x + c - d = 0\)  \(\left( {1'} \right)\)

Đặt \(t = \tan x\)

Phương trình \(\left( {1'} \right)\) trở thành: \((a - d){t^2} + bt + c - d = 0{\rm{   (2)}}\)

Giải phương trình (2) theo t từ đó suy ra x  theo \(t = \tan x\)

Cách 2: Sử dụng các công thức

\(\begin{array}{l}
{\sin ^2}x = \frac{{1 - \cos 2x}}{2}\\
{\cos ^2}x = \frac{{1 + \cos 2x}}{2}\\
\sin x\cos x = \frac{{\sin 2x}}{2}
\end{array}\)

Phương trình (1) trở thành:

\(a\left( {\frac{{1 - \cos 2x}}{2}} \right) + b\frac{{\sin 2x}}{2} + c\left( {\frac{{1 + \cos 2x}}{2}} \right) = d\)

\( \Leftrightarrow b\sin 2x + (c - a)\cos 2x = 2d - a - c\)

Đây là phương trình bậc nhất đối với \(\sin 2x\) và \(\cos 2x\).

b) Phương trình đẳng cấp bậc ba đối với sinx và cosx

Dạng phương trình:

\(\begin{array}{l}
a{\sin ^3}x + b{\sin ^2}x\cos x + c\sin x{\cos ^2}x\\
\,\,\,\,\,\,\, + d\sin x + e\cos x + fc{\rm{o}}{{\rm{s}}^3}x = 0\,\,({\rm{1}})
\end{array}\)

(\(a,b,c,d,e,f\): có ít nhất 2 hệ số khác không).

Phương pháp giải:

Xét \(\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\) có là nghiệm của (1) hay không

Xét \(\cos x \ne 0\), chia hai vế của (1) cho \({\cos ^3}x\) ta được:

\(\begin{array}{l}
a{\tan ^3}x + b{\tan ^2}x + c\tan x + d\tan x\\
\,\,.(1 + {\tan ^2}x) + e(1 + {\tan ^2}x) + f = 0\\
 \Leftrightarrow (a + d){\tan ^3}x + (b + e){\tan ^2}x\\
\,\, + (c + d)\tan x + e + f = 0\,\,\left( {{\rm{1'}}} \right)
\end{array}\)

Đặt \(t = \tan x\)

Phương trình \(\left( {{\rm{1'}}} \right)\) trở thành:

\(\begin{array}{l}
(a + d){{\rm{t}}^3} + (b + e){{\rm{t}}^2} + (c + d){\rm{t}}\\
\,\,\,\, + e + f = 0\,\,(2)
\end{array}\)   

Giải phương trình (2) theo t từ đó suy ra x theo \(t = \tan x\)

c) Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx

Dạng 1:

\(a\left( {\sin x + \cos x} \right) + b\sin x\cos x + c = 0\)

Phương pháp giải

Đặt \(t = \sin x + \cos x = \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)\)

Điều kiện: \(\left| t \right| \le \sqrt 2 \)    (*)

Suy ra  \(\sin x\cos x = \frac{{{t^2} - 1}}{2}\)

Khi đó phương trình trở thành: \(b{t^2} + 2at + 2c - b = 0\)

Giải phương trình theo t kết hợp với điều kiên (*) suy ra t

Giải phương trình lượng giác cơ bản \(\sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = t\), suy ra x

Chú ý: Ta cũng có thể đặt \(t = \sin x + \cos x = \sqrt 2 c{\rm{os}}\left( {x - \frac{\pi }{4}} \right)\) và làm tương tự như trên.

Dạng 2:

\(a\left( {\sin x - \cos x} \right) + b\sin x\cos x + c = 0\)

Phương pháp giải

Đặt \(t = \sin x - \cos x = \sqrt 2 \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right)\)

Điều kiện: \(\left| t \right| \le \sqrt 2 \)    (*)

Suy ra \(\sin x\cos x = \frac{{1 - {t^2}}}{2}\)

Khi đó phương trình trở thành: \(b{t^2} - 2at - 2c - b = 0\)

Giải phương trình theo t kết hợp với điều kiện  (*) suy ra t

Giải phương trình lượng giác cơ bản \(\sqrt 2 \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = t\), suy ra x.

d) Phương trình đối xứng đối với tanx và cotx

Dạng 1:

\(a({\tan ^2}x + {\cot ^2}x) + b(\tan x + \cot x) + c = 0\)

Phương pháp giải

Điều kiện:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x \ne 0}\\{\cos x \ne 0}\end{array}} \right. \)

\(\Leftrightarrow \sin 2x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}\)

Đặt \(t = \tan x + \cot x\), điều kiện \(\left| t \right| \ge 2\)

Suy ra \({\tan ^2}x + {\cot ^2}x = {t^2} - 2\)

Phương trình trở thành:

\(a({t^2} - 2) + bt + c = 0 \)

\(\Leftrightarrow a{t^2} + bt + c - 2a = 0\)

Giải phương trình theo t và kết hợp với điều kiện (*), suy ra t

Giải phương trình \(\tan x + \cot x = t\)

• Cách 1:

Ta có \(\tan x + \frac{1}{{\tan x}} = t \)

\(\Leftrightarrow {\tan ^2}x - t.\tan x + 1 = 0\)

Đây là phương trình bậc hai theo \(\tan x\)

• Cách 2:

Ta có:

\(\frac{{\sin x}}{{\cos x}} + \frac{{\cos x}}{{\sin x}} = t \Leftrightarrow \frac{{{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x}}{{\sin x\cos x}} = t \)

\(\Leftrightarrow \sin 2x = \frac{2}{t}\)

Đây là phương trình cơ bản của sin2x

Dạng 2:

\(a({\tan ^2}x + {\cot ^2}x) + b(\tan x - \cot x) + c = 0\)

Điều kiện \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x \ne 0}\\{\cos x \ne 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \sin 2x \ne 0 \)

\(\Leftrightarrow x \ne \frac{{k\pi }}{2}{\rm{, }}k \in \mathbb{Z}\)

Đặt \(t = \tan x - \cot x\).

Khi đó \({\tan ^2}x + {\cot ^2}x = {t^2} + 2\)

Phương trình trở thành:

\(a({t^2} + 2) + bt + c = 0 \)

\(\Leftrightarrow a{t^2} + bt + c + 2a = 0\)

Giải phương trình theo t và kết hợp với điều kiện (nếu có), suy ra t

Giải phương trình \(\tan x - \cot x = t\)

• Cách 1:

Ta có \(\tan x - \frac{1}{{\tan x}} = t \)

\(\Leftrightarrow {\tan ^2}x - t\tan x - 1 = 0\)

Đây là phương trình bậc hai theo \(\tan x\)

• Cách 2:

Ta có: \(\frac{{\sin x}}{{\cos x}} - \frac{{\cos x}}{{\sin x}} = t \Leftrightarrow \frac{{{{\sin }^2}x - {{\cos }^2}x}}{{\sin x\cos x}} = t\)

\( \Leftrightarrow \frac{{ - 2\cos 2x}}{{\sin 2x}} = t \Leftrightarrow \cot 2x =  - \frac{t}{2}\)

Đây là phương trình cơ bản của \(\cot 2x\).

3. Bài tập Ôn tập

Giải các phương trình lượng giác sau:

a) \(\tan x + \frac{{\cos x}}{{1 + \sin x}} = 1\)

b) \(\cot x = \tan x + \frac{{2\cos 4x}}{{\sin 2x}}\)

c) \({\sin ^4}x + {\cos ^4}x = 2\sin x\cos x - \frac{1}{2}{\cos ^2}2x\)

d) \(\cos 7x\cos 5x - \sqrt 3 \sin 2x \)

\(\,\,\,\,= 1 - \sin 7x\sin 5x\)

e) \({\sin ^4}x + {\cos ^4}\left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{4}\)

Lời giải:

a) \(\tan x + \frac{{\cos x}}{{1 + \sin x}} = 1\)

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}\cos x \ne 0\\\sin x \ne  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\)

Khi đó \((1)\, \Leftrightarrow \frac{{\sin x}}{{\cos x}} + \frac{{\cos x}}{{1 + \sin x}} = 1\)

\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow \sin x\left( {1 + \sin x} \right) + {\cos ^2}x\\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \cos x\left( {1 + \sin x} \right)
\end{array}\\
\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow \sin x + 1 = \cos x\left( {1 + \sin x} \right)\\
 \Leftrightarrow \left( {\sin x + 1} \right)\left( {\cos x - 1} \right) = 0\\
 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\sin x =  - 1}\\
{\cos x = 1}
\end{array}} \right.\\
 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x =  - \frac{\pi }{2} + k\pi }\\
{x = k2\pi }
\end{array}} \right.,k \in \mathbb{Z}
\end{array}
\end{array}\)

So sánh với điều kiện (*) ta được nghiệm của (1) là \(x = k2\pi \) \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

b) \(\cot x = \tan x + \frac{{2\cos 4x}}{{\sin 2x}}\)

Điều kiện: \(\sin 2x \ne 0 \Leftrightarrow \cos 2x \ne  \pm 1\) (*)

Khi đó \((2)\, \Leftrightarrow \frac{{\cos x}}{{\sin x}} - \frac{{\sin x}}{{\cos x}} = \frac{{\cos 4x}}{{\sin x\cos x}}\)\( \Leftrightarrow {\cos ^2}x - {\sin ^2}x = \cos 4x\)

\( \Leftrightarrow \cos 2x = \cos 4x \)

\(\Leftrightarrow 2{\cos ^2}2x - \cos 2x - 1 = 0\)

Đặt: \(t = \cos 2x,t \in \left( { - 1;1} \right)\)

Bất phương trình trở thành: \(2{t^2} - t - 1 = 0 \Leftrightarrow  \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 1\,(loai){\rm{   }}}\\{t =  - \frac{1}{2}}\end{array}} \right.\)

Với \(\cos 2x =  - \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi }\\{2x =  - \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi }\end{array}} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{3} + k\pi }\\{x =  - \frac{\pi }{3} + k\pi }\end{array}} \right.,k \in \mathbb{Z}\)

Vậy nghiệm của (2) là \(x = \frac{\pi }{3} + k\pi \), \(x =  - \frac{\pi }{3} + k\pi \) \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

c) \({\sin ^4}x + {\cos ^4}x = 2\sin x\cos x - \frac{1}{2}{\cos ^2}2x\)

\(\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow 1 - 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x = \sin 2x - \\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{1}{2}\left( {1 - {{\sin }^2}2x} \right)
\end{array}\)

\( \Leftrightarrow 1 - \frac{{{{\sin }^2}2x}}{2} = \sin 2x - \frac{1}{2}\left( {1 - {{\sin }^2}2x} \right)\)

\( \Leftrightarrow {\sin ^2}2x + 2\sin 2x - 3 = 0\)

Đặt \(t = \sin 2x,t \in \left[ { - 1;1} \right],\) Bất phương trình trở thành:

\({t^2} - 2t - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t =  - 3\,(loai)\end{array} \right.\)

Với \(\sin 2x = 1 \Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{2} + k2\pi  \)

\(\Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\)

Vậy nghiệm của (3) là \(x = \frac{\pi }{4} + k\pi \)\(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

d) \(\cos 7x\cos 5x - \sqrt 3 \sin 2x \)

\(\,\,\,\,= 1 - \sin 7x\sin 5x\)

\(\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow \left( {\cos 7x\cos 5x + \sin 7x\sin 5x} \right) - \\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\sqrt 3 \sin 2x = 1
\end{array}\)

\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow \cos 2x - \sqrt 3 \sin 2x = 1\\
 \Leftrightarrow \cos \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) = \frac{1}{2}
\end{array}\\
\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{2x + \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{3} + k2\pi }\\
{2x + \frac{\pi }{3} =  - \frac{\pi }{3} + k2\pi }
\end{array}} \right.\\
 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = k\pi }\\
{x =  - \frac{\pi }{3} + k\pi }
\end{array},} \right.k \in \mathbb{Z}
\end{array}
\end{array}\)

Vậy nghiệm của (4) là \(x = k\pi \), \(x =  - \frac{\pi }{3} + k\pi \) \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

e) \({\sin ^4}x + {\cos ^4}\left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{4}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{{{(1 - \cos 2x)}^2}}}{4} + \frac{{{{\left[ {1 + \cos (2x + \frac{\pi }{2})} \right]}^2}}}{4} = \frac{1}{4}\)\( \Leftrightarrow {(1 - \cos 2x)^2} + {(1 - \sin 2x)^2} = 1\)

\( \Leftrightarrow \cos 2x + \sin 2x = 1 \)

\(\Leftrightarrow \cos \left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x - \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\2x - \frac{\pi }{4} =  - \frac{\pi }{4} + k2\pi \end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{4} + k\pi \\x = k\pi \end{array} \right.{\rm{, }}k \in \mathbb{Z}\)

Vậy nghiệm của (5) là \(x = k\pi \), \(x = \frac{\pi }{4} + k\pi \)\(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

a) Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sinx và cosx

Dạng phương trình:

\(a\sin {}^2x + b\sin x\cos x + c\cos {}^2x = d{\rm{  (1) }}\)

(\(a,b,c,d\): có ít nhất 2 hệ số khác không)

Phương pháp giải:

Cách 1:

Xét \(\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\) có là nghiệm của (1) hay không.

Xét \(\cos x \ne 0\), chia hai vế của (1) cho \({\cos ^2}x\) ta được:

\(a{\tan ^2}x + b\tan x + c = d(1 + {\tan ^2}x)\)

\( \Leftrightarrow \left( {a - d} \right){\tan ^2}x + b\tan x + c - d = 0\)  \(\left( {1'} \right)\)

Đặt \(t = \tan x\)

Phương trình \(\left( {1'} \right)\) trở thành: \((a - d){t^2} + bt + c - d = 0{\rm{   (2)}}\)

Giải phương trình (2) theo t từ đó suy ra x  theo \(t = \tan x\)

Cách 2: Sử dụng các công thức

\(\begin{array}{l}
{\sin ^2}x = \frac{{1 - \cos 2x}}{2}\\
{\cos ^2}x = \frac{{1 + \cos 2x}}{2}\\
\sin x\cos x = \frac{{\sin 2x}}{2}
\end{array}\)

Phương trình (1) trở thành:

\(a\left( {\frac{{1 - \cos 2x}}{2}} \right) + b\frac{{\sin 2x}}{2} + c\left( {\frac{{1 + \cos 2x}}{2}} \right) = d\)

\( \Leftrightarrow b\sin 2x + (c - a)\cos 2x = 2d - a - c\)

Đây là phương trình bậc nhất đối với \(\sin 2x\) và \(\cos 2x\).

b) Phương trình đẳng cấp bậc ba đối với sinx và cosx

Dạng phương trình:

\(\begin{array}{l}
a{\sin ^3}x + b{\sin ^2}x\cos x + c\sin x{\cos ^2}x\\
\,\,\,\,\,\,\, + d\sin x + e\cos x + fc{\rm{o}}{{\rm{s}}^3}x = 0\,\,({\rm{1}})
\end{array}\)

(\(a,b,c,d,e,f\): có ít nhất 2 hệ số khác không).

Phương pháp giải:

Xét \(\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\) có là nghiệm của (1) hay không

Xét \(\cos x \ne 0\), chia hai vế của (1) cho \({\cos ^3}x\) ta được:

\(\begin{array}{l}
a{\tan ^3}x + b{\tan ^2}x + c\tan x + d\tan x\\
\,\,.(1 + {\tan ^2}x) + e(1 + {\tan ^2}x) + f = 0\\
 \Leftrightarrow (a + d){\tan ^3}x + (b + e){\tan ^2}x\\
\,\, + (c + d)\tan x + e + f = 0\,\,\left( {{\rm{1'}}} \right)
\end{array}\)

Đặt \(t = \tan x\)

Phương trình \(\left( {{\rm{1'}}} \right)\) trở thành:

\(\begin{array}{l}
(a + d){{\rm{t}}^3} + (b + e){{\rm{t}}^2} + (c + d){\rm{t}}\\
\,\,\,\, + e + f = 0\,\,(2)
\end{array}\)   

Giải phương trình (2) theo t từ đó suy ra x theo \(t = \tan x\)

c) Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx

Dạng 1:

\(a\left( {\sin x + \cos x} \right) + b\sin x\cos x + c = 0\)

Phương pháp giải

Đặt \(t = \sin x + \cos x = \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)\)

Điều kiện: \(\left| t \right| \le \sqrt 2 \)    (*)

Suy ra  \(\sin x\cos x = \frac{{{t^2} - 1}}{2}\)

Khi đó phương trình trở thành: \(b{t^2} + 2at + 2c - b = 0\)

Giải phương trình theo t kết hợp với điều kiên (*) suy ra t

Giải phương trình lượng giác cơ bản \(\sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = t\), suy ra x

Chú ý: Ta cũng có thể đặt \(t = \sin x + \cos x = \sqrt 2 c{\rm{os}}\left( {x - \frac{\pi }{4}} \right)\) và làm tương tự như trên.

Dạng 2:

\(a\left( {\sin x - \cos x} \right) + b\sin x\cos x + c = 0\)

Phương pháp giải

Đặt \(t = \sin x - \cos x = \sqrt 2 \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right)\)

Điều kiện: \(\left| t \right| \le \sqrt 2 \)    (*)

Suy ra \(\sin x\cos x = \frac{{1 - {t^2}}}{2}\)

Khi đó phương trình trở thành: \(b{t^2} - 2at - 2c - b = 0\)

Giải phương trình theo t kết hợp với điều kiện  (*) suy ra t

Giải phương trình lượng giác cơ bản \(\sqrt 2 \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = t\), suy ra x.

d) Phương trình đối xứng đối với tanx và cotx

Dạng 1:

\(a({\tan ^2}x + {\cot ^2}x) + b(\tan x + \cot x) + c = 0\)

Phương pháp giải

Điều kiện:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x \ne 0}\\{\cos x \ne 0}\end{array}} \right. \)

\(\Leftrightarrow \sin 2x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}\)

Đặt \(t = \tan x + \cot x\), điều kiện \(\left| t \right| \ge 2\)

Suy ra \({\tan ^2}x + {\cot ^2}x = {t^2} - 2\)

Phương trình trở thành:

\(a({t^2} - 2) + bt + c = 0 \)

\(\Leftrightarrow a{t^2} + bt + c - 2a = 0\)

Giải phương trình theo t và kết hợp với điều kiện (*), suy ra t

Giải phương trình \(\tan x + \cot x = t\)

• Cách 1:

Ta có \(\tan x + \frac{1}{{\tan x}} = t \)

\(\Leftrightarrow {\tan ^2}x - t.\tan x + 1 = 0\)

Đây là phương trình bậc hai theo \(\tan x\)

• Cách 2:

Ta có:

\(\frac{{\sin x}}{{\cos x}} + \frac{{\cos x}}{{\sin x}} = t \Leftrightarrow \frac{{{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x}}{{\sin x\cos x}} = t \)

\(\Leftrightarrow \sin 2x = \frac{2}{t}\)

Đây là phương trình cơ bản của sin2x

Dạng 2:

\(a({\tan ^2}x + {\cot ^2}x) + b(\tan x - \cot x) + c = 0\)

Điều kiện \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x \ne 0}\\{\cos x \ne 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \sin 2x \ne 0 \)

\(\Leftrightarrow x \ne \frac{{k\pi }}{2}{\rm{, }}k \in \mathbb{Z}\)

Đặt \(t = \tan x - \cot x\).

Khi đó \({\tan ^2}x + {\cot ^2}x = {t^2} + 2\)

Phương trình trở thành:

\(a({t^2} + 2) + bt + c = 0 \)

\(\Leftrightarrow a{t^2} + bt + c + 2a = 0\)

Giải phương trình theo t và kết hợp với điều kiện (nếu có), suy ra t

Giải phương trình \(\tan x - \cot x = t\)

• Cách 1:

Ta có \(\tan x - \frac{1}{{\tan x}} = t \)

\(\Leftrightarrow {\tan ^2}x - t\tan x - 1 = 0\)

Đây là phương trình bậc hai theo \(\tan x\)

• Cách 2:

Ta có: \(\frac{{\sin x}}{{\cos x}} - \frac{{\cos x}}{{\sin x}} = t \Leftrightarrow \frac{{{{\sin }^2}x - {{\cos }^2}x}}{{\sin x\cos x}} = t\)

\( \Leftrightarrow \frac{{ - 2\cos 2x}}{{\sin 2x}} = t \Leftrightarrow \cot 2x =  - \frac{t}{2}\)

Đây là phương trình cơ bản của \(\cot 2x\).

3. Bài tập Ôn tập

Giải các phương trình lượng giác sau:

a) \(\tan x + \frac{{\cos x}}{{1 + \sin x}} = 1\)

b) \(\cot x = \tan x + \frac{{2\cos 4x}}{{\sin 2x}}\)

c) \({\sin ^4}x + {\cos ^4}x = 2\sin x\cos x - \frac{1}{2}{\cos ^2}2x\)

d) \(\cos 7x\cos 5x - \sqrt 3 \sin 2x \)

\(\,\,\,\,= 1 - \sin 7x\sin 5x\)

e) \({\sin ^4}x + {\cos ^4}\left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{4}\)

Lời giải:

a) \(\tan x + \frac{{\cos x}}{{1 + \sin x}} = 1\)

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}\cos x \ne 0\\\sin x \ne  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\)

Khi đó \((1)\, \Leftrightarrow \frac{{\sin x}}{{\cos x}} + \frac{{\cos x}}{{1 + \sin x}} = 1\)

\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow \sin x\left( {1 + \sin x} \right) + {\cos ^2}x\\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \cos x\left( {1 + \sin x} \right)
\end{array}\\
\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow \sin x + 1 = \cos x\left( {1 + \sin x} \right)\\
 \Leftrightarrow \left( {\sin x + 1} \right)\left( {\cos x - 1} \right) = 0\\
 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\sin x =  - 1}\\
{\cos x = 1}
\end{array}} \right.\\
 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x =  - \frac{\pi }{2} + k\pi }\\
{x = k2\pi }
\end{array}} \right.,k \in \mathbb{Z}
\end{array}
\end{array}\)

So sánh với điều kiện (*) ta được nghiệm của (1) là \(x = k2\pi \) \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

b) \(\cot x = \tan x + \frac{{2\cos 4x}}{{\sin 2x}}\)

Điều kiện: \(\sin 2x \ne 0 \Leftrightarrow \cos 2x \ne  \pm 1\) (*)

Khi đó \((2)\, \Leftrightarrow \frac{{\cos x}}{{\sin x}} - \frac{{\sin x}}{{\cos x}} = \frac{{\cos 4x}}{{\sin x\cos x}}\)\( \Leftrightarrow {\cos ^2}x - {\sin ^2}x = \cos 4x\)

\( \Leftrightarrow \cos 2x = \cos 4x \)

\(\Leftrightarrow 2{\cos ^2}2x - \cos 2x - 1 = 0\)

Đặt: \(t = \cos 2x,t \in \left( { - 1;1} \right)\)

Bất phương trình trở thành: \(2{t^2} - t - 1 = 0 \Leftrightarrow  \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 1\,(loai){\rm{   }}}\\{t =  - \frac{1}{2}}\end{array}} \right.\)

Với \(\cos 2x =  - \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi }\\{2x =  - \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi }\end{array}} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{3} + k\pi }\\{x =  - \frac{\pi }{3} + k\pi }\end{array}} \right.,k \in \mathbb{Z}\)

Vậy nghiệm của (2) là \(x = \frac{\pi }{3} + k\pi \), \(x =  - \frac{\pi }{3} + k\pi \) \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

c) \({\sin ^4}x + {\cos ^4}x = 2\sin x\cos x - \frac{1}{2}{\cos ^2}2x\)

\(\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow 1 - 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x = \sin 2x - \\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{1}{2}\left( {1 - {{\sin }^2}2x} \right)
\end{array}\)

\( \Leftrightarrow 1 - \frac{{{{\sin }^2}2x}}{2} = \sin 2x - \frac{1}{2}\left( {1 - {{\sin }^2}2x} \right)\)

\( \Leftrightarrow {\sin ^2}2x + 2\sin 2x - 3 = 0\)

Đặt \(t = \sin 2x,t \in \left[ { - 1;1} \right],\) Bất phương trình trở thành:

\({t^2} - 2t - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t =  - 3\,(loai)\end{array} \right.\)

Với \(\sin 2x = 1 \Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{2} + k2\pi  \)

\(\Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\)

Vậy nghiệm của (3) là \(x = \frac{\pi }{4} + k\pi \)\(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

d) \(\cos 7x\cos 5x - \sqrt 3 \sin 2x \)

\(\,\,\,\,= 1 - \sin 7x\sin 5x\)

\(\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow \left( {\cos 7x\cos 5x + \sin 7x\sin 5x} \right) - \\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\sqrt 3 \sin 2x = 1
\end{array}\)

\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow \cos 2x - \sqrt 3 \sin 2x = 1\\
 \Leftrightarrow \cos \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) = \frac{1}{2}
\end{array}\\
\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{2x + \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{3} + k2\pi }\\
{2x + \frac{\pi }{3} =  - \frac{\pi }{3} + k2\pi }
\end{array}} \right.\\
 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = k\pi }\\
{x =  - \frac{\pi }{3} + k\pi }
\end{array},} \right.k \in \mathbb{Z}
\end{array}
\end{array}\)

Vậy nghiệm của (4) là \(x = k\pi \), \(x =  - \frac{\pi }{3} + k\pi \) \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

e) \({\sin ^4}x + {\cos ^4}\left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{4}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{{{(1 - \cos 2x)}^2}}}{4} + \frac{{{{\left[ {1 + \cos (2x + \frac{\pi }{2})} \right]}^2}}}{4} = \frac{1}{4}\)\( \Leftrightarrow {(1 - \cos 2x)^2} + {(1 - \sin 2x)^2} = 1\)

\( \Leftrightarrow \cos 2x + \sin 2x = 1 \)

\(\Leftrightarrow \cos \left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x - \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\2x - \frac{\pi }{4} =  - \frac{\pi }{4} + k2\pi \end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{4} + k\pi \\x = k\pi \end{array} \right.{\rm{, }}k \in \mathbb{Z}\)

Vậy nghiệm của (5) là \(x = k\pi \), \(x = \frac{\pi }{4} + k\pi \)\(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).