- Nếu \(|a|>1\): Phương trình vô nghiệm.
- Nếu \(|a|\leq 1\):
+ \(\sin x = \sin \alpha \)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \alpha + k2\pi \\ x = \pi - \alpha + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
+ \(\sin x = \sin {\beta ^0} \)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = {\beta ^0} + k{360^0}\\ x = {180^0} - {\beta ^0} + k{360^0} \end{array} \right.\left( {k \in\mathbb{Z} } \right)\)
+ \(\sin x = a \)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = arc\sin a + k2\pi \\ x = \pi - arc\sin a + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
+ Tổng quát: \(\sin f\left( x \right) = \sin g\left( x \right) \)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} f\left( x \right) = g\left( x \right) + k2\pi \\ f\left( x \right) = \pi - g\left( x \right) + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in\mathbb{Z} } \right)\)
- Các trường hợp đặc biệt:
\(\begin{array}{*{20}{l}}
{\sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)}\\
{\sin x = - 1 \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)}\\
{\sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)}
\end{array}\)
- Nếu \(|a|>1\): Phương trình vô nghiệm.
- Nếu \(|a|\leq 1\):
+ \(\cos x = \cos \alpha\)
\(\Leftrightarrow x = \pm \alpha + k2\pi \left( {k \in\mathbb{Z} } \right)\)
+ \(\cos x = \cos {\beta ^0} \)
\(\Leftrightarrow x = \pm {\beta ^0} + k{360^0}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
+ \(\cos x = a \)
\(\Leftrightarrow x = \pm \,arcc{\rm{os}}a + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
+ Tổng quát: \(\cos f\left( x \right) =\cos g\left( x \right) \)
\(\Leftrightarrow f\left( x \right) = \pm g\left( x \right) + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
- Các trường hợp đặc biệt:
\(\begin{array}{*{20}{l}}
{\cos x = 1 \Leftrightarrow x = k2\pi {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)}\\
{\cos x = - 1 \Leftrightarrow x = \pi + k2\pi {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)}\\
{\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)}
\end{array}\)
\(\begin{array}{*{20}{l}}
{\tan x = {\rm{tan}}\alpha \Leftrightarrow {\mkern 1mu} x{\mkern 1mu} {\rm{ = }}{\mkern 1mu} \alpha + k\pi {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)}\\
{\tan x = {\rm{tan}}{\beta ^0} \Leftrightarrow {\mkern 1mu} x{\rm{ = }}{\beta ^0} + k{\rm{18}}{{\rm{0}}^0}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)}\\
{\tan x = a \Leftrightarrow x{\rm{ = }}\arctan a{\mkern 1mu} + k\pi {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)}
\end{array}\)
Tổng quát: \(\tan f\left( x \right) = \tan g\left( x \right) \)
\(\Leftrightarrow f\left( x \right) = g\left( x \right) + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
\(\begin{array}{*{20}{l}}
{\cot x = \cot \alpha \Leftrightarrow {\rm{x}}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\rm{ = }}{\mkern 1mu} \alpha {\mkern 1mu} {\rm{ + }}{\mkern 1mu} {\rm{k}}\pi {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)}\\
{\cot x = \cot {\beta ^0} \Leftrightarrow {\rm{x}}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\rm{ = }}{\mkern 1mu} {\beta ^0}{\rm{ + }}{\mkern 1mu} {\rm{k18}}{{\rm{0}}^0}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)}\\
{\cot x = a \Leftrightarrow {\rm{x}}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\rm{ = arc}}\cot {\mkern 1mu} a{\mkern 1mu} {\rm{ + }}{\mkern 1mu} {\rm{k}}\pi {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)}
\end{array}\)
Tổng quát: \(\cot f\left( x \right) = \cot g\left( x \right) \)
\(\Leftrightarrow f\left( x \right) = g\left( x \right) + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Giải các phương trình sau:
a) \(\sin \left( {\frac{{2x}}{3} - \frac{\pi }{3}} \right)=0\).
b) \(\sin x = \sin \frac{\pi }{{12}}\).
c) \(\sin 3x = \frac{1}{2}\).
d) \(\sin x = \frac{2}{3}\).
a) \(\sin \left( {\frac{{2x}}{3} - \frac{\pi }{3}} \right)=0\)
\(\Leftrightarrow \frac{{2x}}{3} - \frac{\pi }{3} = k\pi \)
\(\Leftrightarrow \,\frac{{2x}}{3} = \frac{\pi }{3} + k\pi\)
\(\Leftrightarrow \,x = \frac{\pi }{2} + k\frac{{3\pi }}{2}\), \(k \in \mathbb{Z}.\)
Vậy phương trình có các nghiệm là:
\(x = \frac{\pi }{2} + k\frac{{3\pi }}{2}\), \(k \in \mathbb{Z}.\)
b) \(\sin x = \sin \frac{\pi }{{12}} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{\pi }{{12}} + k2\pi \\ x = \pi - \frac{\pi }{{12}} + k2\pi \end{array} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{\pi }{{12}} + k2\pi \\ x = \frac{{11\pi }}{{12}} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Vậy phương trình có các nghiệm là:
\(x = \frac{\pi }{{12}} + k2\pi ,k\in \mathbb{Z}\) và
\(x = \frac{11\pi }{{12}} + k2\pi ,k\in \mathbb{Z}.\)
c) \(\sin 3x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \sin 3x = \sin \frac{\pi }{6} \)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 3x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\ 3x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{\pi }{{18}} + k\frac{{2\pi }}{3}\\ x = \frac{{5\pi }}{{18}} + k\frac{{2\pi }}{3} \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Vậy phương trình có các nghiệm là:
\(x = \frac{\pi }{{18}} + k\frac{{2\pi }}{3}, k \in \mathbb{Z}\) và
\(x = \frac{{5\pi }}{{18}} + k\frac{{2\pi }}{3}, k \in \mathbb{Z}\).
d) \(\sin x = \frac{2}{3} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \arcsin \frac{2}{3} + k2\pi \\ x = \pi - \arcsin \frac{2}{3} + k2\pi \end{array} \right.\)
\(\left( {k \in\mathbb{Z} } \right)\)
Vậy phương trình có các nghiệm là:
\(x = \arcsin \frac{2}{3} + k2\pi,k \in \mathbb{Z}\) và
\(x = \pi - \arcsin \frac{2}{3} + k2\pi, k \in \mathbb{Z}.\)
Giải các phương trình sau:
a) \(\cos \left( {\frac{{3x}}{2} - \frac{\pi }{4}} \right) = - \frac{1}{2}\).
b) \(\cos \left( {x + {{45}^0}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).
a) \(\cos \left( {\frac{{3x}}{2} - \frac{\pi }{4}} \right) = - \frac{1}{2} \)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \frac{{3x}}{2} - \frac{\pi }{4} = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \\ \frac{{3x}}{2} - \frac{\pi }{4} = - \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.\)\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{{11\pi }}{{18}} + k\frac{{4\pi }}{3}\\ x = - \frac{{5\pi }}{{18}} + k\frac{{4\pi }}{3} \end{array} \right.{\mkern 1mu} ,{\mkern 1mu} k \in \mathbb{Z}.\)
Vậy phương trình có các nghiệm là:
\({x = \frac{{11\pi }}{{18}} + k\frac{{4\pi }}{3}}, k \in \mathbb{Z}\) và
\({x = - \frac{{5\pi }}{{18}} + k\frac{{4\pi }}{3}}, k \in \mathbb{Z}.\)
b) \(\cos \left( {x + {{45}^0}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \)
\( \Leftrightarrow \cos \left( {x + {{45}^0}} \right) = \cos {45^0}\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x + {45^0} = {45^0} + k{360^0}\\ x + {45^0} = - {45^0} + k{360^0} \end{array} \right.\)\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = {45^0} + k{360^0}\\ x = - {90^0} + k{360^0} \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\)
Vậy phương trình có các nghiệm là:
\({x = {{45}^0} + k{{360}^0}}, k \in \mathbb{Z}\) và
\({x = - {{90}^0} + k{{360}^0}}, k \in \mathbb{Z}.\)
Giải các phương trình sau:
a) \(\tan x = \tan \frac{\pi }{3}\).
b) \(\tan (x - {15^0}) = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\).
a) \(\tan x = \tan \frac{\pi }{3} \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{3} + k\pi ,\left( {k \in\mathbb{Z} } \right).\)
b) \(\tan (x - {15^0}) = \frac{{\sqrt 3 }}{3} \)
\(\Leftrightarrow \tan (x - {15^0}) = \tan {30^0}\)
\(\Leftrightarrow x = {45^0} + k{180^0} , k \in \mathbb{Z}.\)
Vậy các nghiệm của phương trình là:
\(x = {45^0} + k{180^0} , k \in \mathbb{Z}.\)
Giải các phương trình sau:
a) \(\cot 4x = \,\cot \frac{{2\pi }}{7}\).
b) \(\cot 4x = - 3.\)
c) \(\cot \left( {2x - \frac{\pi }{6}} \right) = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\).
a) \(\cot 4x = \,\cot \frac{{2\pi }}{7}\)
\(\Leftrightarrow 4x = \frac{{2\pi }}{7}\, + \,k\pi \)
\(\Leftrightarrow \,x = \frac{\pi }{{14}} + \,k\frac{\pi }{4},\,k \in \mathbb{Z}.\)
Vậy các nghiệm của phương trình là:
\(x = \frac{\pi }{{14}} + \,k\frac{\pi }{4};\,k \in \mathbb{Z}.\)
b) \(\cot 4x = - 3 \Leftrightarrow 4x = \arctan \left( { - 3} \right) + k\pi \)
\(\Leftrightarrow x = \frac{1}{4}\arctan \left( { - 3} \right) + k\frac{\pi }{4},\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\)
Vậy các nghiệm của phương trình là:
\(x = \frac{1}{4}\arctan \left( { - 3} \right) + k\frac{\pi }{4},\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\)
c) \(\cot \left( {2x - \frac{\pi }{6}} \right) = \frac{1}{{\sqrt 3 }} \)
\(\Leftrightarrow \cot \left( {2x - \frac{\pi }{6}} \right) = \cot \frac{\pi }{6}\)
\(\Leftrightarrow 2x - \frac{\pi }{6} = \frac{\pi }{6} + k\pi \Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{3} + k\pi\)
\(\Leftrightarrow x = \frac{\pi }{6} + k\frac{\pi }{2},\left( {k \in\mathbb{Z} } \right).\)
Vậy các nghiệm của phương trình là:
\(x = \frac{\pi }{6} + k\frac{\pi }{2},\left( {k \in\mathbb{Z} } \right).\)
- Nếu \(|a|>1\): Phương trình vô nghiệm.
- Nếu \(|a|\leq 1\):
+ \(\sin x = \sin \alpha \)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \alpha + k2\pi \\ x = \pi - \alpha + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
+ \(\sin x = \sin {\beta ^0} \)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = {\beta ^0} + k{360^0}\\ x = {180^0} - {\beta ^0} + k{360^0} \end{array} \right.\left( {k \in\mathbb{Z} } \right)\)
+ \(\sin x = a \)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = arc\sin a + k2\pi \\ x = \pi - arc\sin a + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
+ Tổng quát: \(\sin f\left( x \right) = \sin g\left( x \right) \)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} f\left( x \right) = g\left( x \right) + k2\pi \\ f\left( x \right) = \pi - g\left( x \right) + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in\mathbb{Z} } \right)\)
- Các trường hợp đặc biệt:
\(\begin{array}{*{20}{l}}
{\sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)}\\
{\sin x = - 1 \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)}\\
{\sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)}
\end{array}\)
- Nếu \(|a|>1\): Phương trình vô nghiệm.
- Nếu \(|a|\leq 1\):
+ \(\cos x = \cos \alpha\)
\(\Leftrightarrow x = \pm \alpha + k2\pi \left( {k \in\mathbb{Z} } \right)\)
+ \(\cos x = \cos {\beta ^0} \)
\(\Leftrightarrow x = \pm {\beta ^0} + k{360^0}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
+ \(\cos x = a \)
\(\Leftrightarrow x = \pm \,arcc{\rm{os}}a + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
+ Tổng quát: \(\cos f\left( x \right) =\cos g\left( x \right) \)
\(\Leftrightarrow f\left( x \right) = \pm g\left( x \right) + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
- Các trường hợp đặc biệt:
\(\begin{array}{*{20}{l}}
{\cos x = 1 \Leftrightarrow x = k2\pi {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)}\\
{\cos x = - 1 \Leftrightarrow x = \pi + k2\pi {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)}\\
{\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)}
\end{array}\)
\(\begin{array}{*{20}{l}}
{\tan x = {\rm{tan}}\alpha \Leftrightarrow {\mkern 1mu} x{\mkern 1mu} {\rm{ = }}{\mkern 1mu} \alpha + k\pi {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)}\\
{\tan x = {\rm{tan}}{\beta ^0} \Leftrightarrow {\mkern 1mu} x{\rm{ = }}{\beta ^0} + k{\rm{18}}{{\rm{0}}^0}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)}\\
{\tan x = a \Leftrightarrow x{\rm{ = }}\arctan a{\mkern 1mu} + k\pi {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)}
\end{array}\)
Tổng quát: \(\tan f\left( x \right) = \tan g\left( x \right) \)
\(\Leftrightarrow f\left( x \right) = g\left( x \right) + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
\(\begin{array}{*{20}{l}}
{\cot x = \cot \alpha \Leftrightarrow {\rm{x}}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\rm{ = }}{\mkern 1mu} \alpha {\mkern 1mu} {\rm{ + }}{\mkern 1mu} {\rm{k}}\pi {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)}\\
{\cot x = \cot {\beta ^0} \Leftrightarrow {\rm{x}}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\rm{ = }}{\mkern 1mu} {\beta ^0}{\rm{ + }}{\mkern 1mu} {\rm{k18}}{{\rm{0}}^0}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)}\\
{\cot x = a \Leftrightarrow {\rm{x}}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\rm{ = arc}}\cot {\mkern 1mu} a{\mkern 1mu} {\rm{ + }}{\mkern 1mu} {\rm{k}}\pi {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)}
\end{array}\)
Tổng quát: \(\cot f\left( x \right) = \cot g\left( x \right) \)
\(\Leftrightarrow f\left( x \right) = g\left( x \right) + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Giải các phương trình sau:
a) \(\sin \left( {\frac{{2x}}{3} - \frac{\pi }{3}} \right)=0\).
b) \(\sin x = \sin \frac{\pi }{{12}}\).
c) \(\sin 3x = \frac{1}{2}\).
d) \(\sin x = \frac{2}{3}\).
a) \(\sin \left( {\frac{{2x}}{3} - \frac{\pi }{3}} \right)=0\)
\(\Leftrightarrow \frac{{2x}}{3} - \frac{\pi }{3} = k\pi \)
\(\Leftrightarrow \,\frac{{2x}}{3} = \frac{\pi }{3} + k\pi\)
\(\Leftrightarrow \,x = \frac{\pi }{2} + k\frac{{3\pi }}{2}\), \(k \in \mathbb{Z}.\)
Vậy phương trình có các nghiệm là:
\(x = \frac{\pi }{2} + k\frac{{3\pi }}{2}\), \(k \in \mathbb{Z}.\)
b) \(\sin x = \sin \frac{\pi }{{12}} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{\pi }{{12}} + k2\pi \\ x = \pi - \frac{\pi }{{12}} + k2\pi \end{array} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{\pi }{{12}} + k2\pi \\ x = \frac{{11\pi }}{{12}} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Vậy phương trình có các nghiệm là:
\(x = \frac{\pi }{{12}} + k2\pi ,k\in \mathbb{Z}\) và
\(x = \frac{11\pi }{{12}} + k2\pi ,k\in \mathbb{Z}.\)
c) \(\sin 3x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \sin 3x = \sin \frac{\pi }{6} \)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 3x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\ 3x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{\pi }{{18}} + k\frac{{2\pi }}{3}\\ x = \frac{{5\pi }}{{18}} + k\frac{{2\pi }}{3} \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Vậy phương trình có các nghiệm là:
\(x = \frac{\pi }{{18}} + k\frac{{2\pi }}{3}, k \in \mathbb{Z}\) và
\(x = \frac{{5\pi }}{{18}} + k\frac{{2\pi }}{3}, k \in \mathbb{Z}\).
d) \(\sin x = \frac{2}{3} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \arcsin \frac{2}{3} + k2\pi \\ x = \pi - \arcsin \frac{2}{3} + k2\pi \end{array} \right.\)
\(\left( {k \in\mathbb{Z} } \right)\)
Vậy phương trình có các nghiệm là:
\(x = \arcsin \frac{2}{3} + k2\pi,k \in \mathbb{Z}\) và
\(x = \pi - \arcsin \frac{2}{3} + k2\pi, k \in \mathbb{Z}.\)
Giải các phương trình sau:
a) \(\cos \left( {\frac{{3x}}{2} - \frac{\pi }{4}} \right) = - \frac{1}{2}\).
b) \(\cos \left( {x + {{45}^0}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).
a) \(\cos \left( {\frac{{3x}}{2} - \frac{\pi }{4}} \right) = - \frac{1}{2} \)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \frac{{3x}}{2} - \frac{\pi }{4} = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \\ \frac{{3x}}{2} - \frac{\pi }{4} = - \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.\)\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{{11\pi }}{{18}} + k\frac{{4\pi }}{3}\\ x = - \frac{{5\pi }}{{18}} + k\frac{{4\pi }}{3} \end{array} \right.{\mkern 1mu} ,{\mkern 1mu} k \in \mathbb{Z}.\)
Vậy phương trình có các nghiệm là:
\({x = \frac{{11\pi }}{{18}} + k\frac{{4\pi }}{3}}, k \in \mathbb{Z}\) và
\({x = - \frac{{5\pi }}{{18}} + k\frac{{4\pi }}{3}}, k \in \mathbb{Z}.\)
b) \(\cos \left( {x + {{45}^0}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \)
\( \Leftrightarrow \cos \left( {x + {{45}^0}} \right) = \cos {45^0}\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x + {45^0} = {45^0} + k{360^0}\\ x + {45^0} = - {45^0} + k{360^0} \end{array} \right.\)\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = {45^0} + k{360^0}\\ x = - {90^0} + k{360^0} \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\)
Vậy phương trình có các nghiệm là:
\({x = {{45}^0} + k{{360}^0}}, k \in \mathbb{Z}\) và
\({x = - {{90}^0} + k{{360}^0}}, k \in \mathbb{Z}.\)
Giải các phương trình sau:
a) \(\tan x = \tan \frac{\pi }{3}\).
b) \(\tan (x - {15^0}) = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\).
a) \(\tan x = \tan \frac{\pi }{3} \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{3} + k\pi ,\left( {k \in\mathbb{Z} } \right).\)
b) \(\tan (x - {15^0}) = \frac{{\sqrt 3 }}{3} \)
\(\Leftrightarrow \tan (x - {15^0}) = \tan {30^0}\)
\(\Leftrightarrow x = {45^0} + k{180^0} , k \in \mathbb{Z}.\)
Vậy các nghiệm của phương trình là:
\(x = {45^0} + k{180^0} , k \in \mathbb{Z}.\)
Giải các phương trình sau:
a) \(\cot 4x = \,\cot \frac{{2\pi }}{7}\).
b) \(\cot 4x = - 3.\)
c) \(\cot \left( {2x - \frac{\pi }{6}} \right) = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\).
a) \(\cot 4x = \,\cot \frac{{2\pi }}{7}\)
\(\Leftrightarrow 4x = \frac{{2\pi }}{7}\, + \,k\pi \)
\(\Leftrightarrow \,x = \frac{\pi }{{14}} + \,k\frac{\pi }{4},\,k \in \mathbb{Z}.\)
Vậy các nghiệm của phương trình là:
\(x = \frac{\pi }{{14}} + \,k\frac{\pi }{4};\,k \in \mathbb{Z}.\)
b) \(\cot 4x = - 3 \Leftrightarrow 4x = \arctan \left( { - 3} \right) + k\pi \)
\(\Leftrightarrow x = \frac{1}{4}\arctan \left( { - 3} \right) + k\frac{\pi }{4},\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\)
Vậy các nghiệm của phương trình là:
\(x = \frac{1}{4}\arctan \left( { - 3} \right) + k\frac{\pi }{4},\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\)
c) \(\cot \left( {2x - \frac{\pi }{6}} \right) = \frac{1}{{\sqrt 3 }} \)
\(\Leftrightarrow \cot \left( {2x - \frac{\pi }{6}} \right) = \cot \frac{\pi }{6}\)
\(\Leftrightarrow 2x - \frac{\pi }{6} = \frac{\pi }{6} + k\pi \Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{3} + k\pi\)
\(\Leftrightarrow x = \frac{\pi }{6} + k\frac{\pi }{2},\left( {k \in\mathbb{Z} } \right).\)
Vậy các nghiệm của phương trình là:
\(x = \frac{\pi }{6} + k\frac{\pi }{2},\left( {k \in\mathbb{Z} } \right).\)