Bài 3: Một số phương trình lượng giác thường gặp

a) Định nghĩa:

Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng \(at + b = 0\) trong đó a, b là các hằng số \(\left( {a \ne 0} \right)\) và t là một trong các hàm số lượng giác.

Ví dụ:

\(\begin{array}{l}
2\sin x - 1 = 0{\mkern 1mu} \\
\cos 2x + \frac{1}{2} = 0;\\
3\tan x - 1 = 0\\
\sqrt 3 \cot x + 1 = 0
\end{array}\)

b) Phương pháp: Đưa về phương trình lượng giác cơ bản. 

a) Dạng phương trình

\(\begin{array}{l}a{\sin ^2}x + b\sin x + c = 0\\a{\cos ^2}x + b\cos x + c = 0\\a{\tan ^2}x + b\tan x + c = 0\\a{\cot ^2}x + b\cot x + c = 0\end{array}\)

b) Cách giải

Đặt:

\(\begin{array}{l}
t = \sin x\,\,( - 1 \le t \le 1)\\
\begin{array}{*{20}{l}}
{t = \cos x\,\,( - 1 \le t \le 1)}\\
{t = \tan x}\\
{t = \cot x}
\end{array}
\end{array}\)

c) Chú ý

Nếu \(a\) là một số cho trước mà \(\tan \alpha \) xác định thì phương trình \(\tan x = \tan \alpha\) có nghiệm \(x = \alpha  + k\pi \) thoả điều kiện \(\cos x \ne 0\).

Phương trình \(\tan P\left( x \right) = \tan Q\left( x \right)\) thì cần phải chú ý đến điều kiện \(\cos P\left( x \right) \ne 0\) và \(\cos Q\left( x \right) \ne 0\).

a) Dạng phương trình

\(a\sin x + b\cos x = c\,\,\,({\rm{1}})\)

Điều kiện có nghiệm: \({a^2} + {b^2} \ge {c^2}\)

b) Cách giải

Cách 1: Chia hai vế của (1) cho \(\sqrt {{a^2} + {b^2}} \), ta được:

\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \)

\(\frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\sin x + \frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\cos x = \frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)

Vì \({\left( {\frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}} \right)^2} + {\left( {\frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}} \right)^2} = 1\) nên ta đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin \varphi  = \frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}}\\{\cos \varphi  = \frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}}\end{array}} \right.\)

Phương trình trở thành:

\(\sin x\sin \varphi  + \cos x\cos \varphi  = \frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} \)

\(\Leftrightarrow \cos \left( {x - \varphi } \right) = \frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)

Đặt \(\cos \alpha  = \frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\) ta được phương trình lượng giác cơ bản.

Hoàn toàn tương tự ta cũng có thể đặt \(\left\{ \begin{array}{l}\cos \varphi  = \frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\\\sin \varphi  = \frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\end{array} \right.\)

Khi đó phương trình trở thành: \({\mathop{\rm sinxcos}\nolimits} \varphi  + cosxsin\varphi  = \frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} \)

\(\Leftrightarrow \sin \left( {x + \varphi } \right) = \frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)

Cách 2:

- Xét \(\cos \frac{x}{2} = 0 \Leftrightarrow x = \pi  + k2\pi ,{\rm{ k}} \in \mathbb{Z}\) có là nghiệm của (1) không

- Xét \(\cos \frac{x}{2} \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \pi  + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\)

Đặt \(t = \tan \frac{x}{2}\).

Khi đó \(\sin x = \frac{{2t}}{{1 + {t^2}}}\) và \(\cos x = \frac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}}\)

Phương trình trở thành:

\(a.\frac{{2t}}{{1 + {t^2}}} + b.\frac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}} = c \)

\( \Leftrightarrow \left( {b + c} \right){t^2} - 2at + c - b = 0\,\,({\rm{2}})\)

Giải (2) theo t, tìm được t thay vào \(t = \tan \frac{x}{2}\) suy ra x

Cách 3:

Nếu \(a \ne 0\) chia 2 vế cho a rồi ta đặt

\(\tan \alpha  = \frac{b}{a}\)   \(\left( { - \frac{\pi }{2} < \alpha  < \frac{\pi }{2}} \right)\)

Phương trình trở thành: 

\(\begin{array}{l}
\sin x + \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}\cos x = \frac{c}{a}\\
 \Leftrightarrow \cos \alpha \sin x + \sin \alpha \cos x = \frac{c}{a}\cos \alpha \\
 \Leftrightarrow \sin (x + \alpha ) = \frac{c}{a}\cos \alpha 
\end{array}\)

Đặt \(\sin \varphi  = \frac{c}{a}\cos \alpha \) ta được phương trình lượng giác cơ bản \(\sin (x + \alpha ) = \sin \varphi \).

4. Bài tập minh họa

Ví dụ 1:

Giải các phương trình sau:

a) \(2\sin x - 1 = 0\,.\)

b) \(\cos 2x + \frac{1}{2} = 0.\)

c) \(3\tan x - 1 = 0.\)

d) \(\sqrt 3 \cot x + 1 = 0.\)

e) \(2\cos x - \sin 2x = 0\)

Lời giải:

a) \(2\sin x - 1 = 0\, \Leftrightarrow \sin x = \frac{1}{2} \)

\(\Leftrightarrow \sin x = \sin \frac{\pi }{6} \)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

b) \(\cos 2x + \frac{1}{2} = 0 \Leftrightarrow \cos 2x = \frac{{ - 1}}{2}\)

\( \Leftrightarrow \cos 2x = \cos \frac{{2\pi }}{3}\)

\( \Leftrightarrow 2x =  \pm \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \)

\(\Leftrightarrow x =  \pm \frac{\pi }{3} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

c) \(3\tan x - 1 = 0 \Leftrightarrow \tan x = \frac{1}{3} \)

\(\Leftrightarrow x = \arctan \frac{1}{3} + k\pi \left( {k \in \mathbb{C}} \right)\)

d) \(\sqrt 3 \cot x + 1 = 0 \Leftrightarrow \cot x = \frac{{ - 1}}{{\sqrt 3 }} \)

\(\Leftrightarrow \cot x = \cot \frac{{2\pi }}{3} \)

\(\Leftrightarrow x = \frac{{2\pi }}{3} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

e) \(\cos x - \sin 2x = 0 \)

\(\Leftrightarrow \cos x - 2\sin x\cos x = 0 \)

\(\Leftrightarrow \cos x\left( {1 - 2\sin x} \right) = 0\)

\(\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\cos x = 0}\\
{1 - 2\sin x = 0}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\cos x = 0}\\
{\sin x = \frac{1}{2}}
\end{array}} \right.\\
 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = \frac{\pi }{2} + k\pi }\\
{x = \frac{\pi }{6} + l\pi }\\
{x = \frac{{5\pi }}{6} + l\pi }
\end{array}} \right.\left( {k,l \in \mathbb{Z}} \right)
\end{array}\)

Ví dụ 2:

Giải các phương trình sau:

a) \(2{\sin ^2}x + \sin x - 3 = 0\)

b) \(co{s^2}x + 3cosx - 1 = 0\)

c) \(3\sin {2^2}x + 7\cos 2x - 3 = 0\)

d) \(\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - \left( {1 + \sqrt 3 } \right)\tan x - 1 + \sqrt 3  = 0\)

Lời giải:

a) \(2{\sin ^2}x + \sin x - 3 = 0\,\,(1)\)

Đặt \(t = \sin x\), điều kiện \(\left| t \right| \le 1\).

Phương trình (1) trở thành:

\(2{t^2} + t - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\;\left( {nhan} \right)\\t = \frac{3}{2}\;\left( {loai} \right)\end{array} \right.\)

Với \(t = 1\), ta được:

\(\sin x = 1 \Leftrightarrow x = k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

b) \({\cos ^2}x + 3\cos x - 1 = 0\left( 2 \right)\)

Đặt \(t = \cos x\), điều kiện \(\left| t \right| \le 1\).

Phương trình (2) trở thành:

\({t^2} + 3t - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{{ - 3 + \sqrt {13} }}{2}\left( {nhan} \right)\\t = \frac{{ - 3 - \sqrt {13} }}{2}\left( {loai} \right)\end{array} \right.\)

Với \(t = \frac{{ - 3 + \sqrt {13} }}{2}\) ta được:

\(\begin{array}{l}
\cos x = \frac{{ - 3 + \sqrt {13} }}{2}\\
 \Leftrightarrow x =  \pm \arccos \frac{{ - 3 + \sqrt {13} }}{2} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)
\end{array}\)

c) \(3{\sin ^2}2x + 7\cos 2x - 3 = 0 \)

\(\Leftrightarrow 3\left( {1 - {{\cos }^2}2x} \right) + 7\cos 2x - 3 = 0\)

\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow 3{\cos ^2}2x - 7\cos 2x = 0\\
 \Leftrightarrow \cos 2x\left( {3\cos 2x - 7} \right) = 0
\end{array}\\
{ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\cos 2x = 0}\\
{3\cos 2x - 7 = 0}
\end{array}} \right.}
\end{array}\)

+) Giải phương trình: \(\cos 2x = 0 \)

\(\Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{2} + k\pi  \)

\(\Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2},\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

+) Giải phương trình: \(3\cos 2x - 7 = 0 \)

\(\Leftrightarrow \cos 2x = \frac{7}{3}\)

Vì \(\frac{7}{3} > 1\) nên phương trình \(3\cos 2x - 7 = 0\) vô nghiệm.

Kết luận: Vậy nghiệm của phương trình đã cho là \(x = \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2},\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

d) \(\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - \left( {1 + \sqrt 3 } \right)\tan x - 1 + \sqrt 3  = 0\)

Điều kiện: \(\cos x \ne 0\)  (*)

\(\begin{array}{l}
pt \Leftrightarrow \\
1 + {\tan ^2}x - \left( {1 + \sqrt 3 } \right)\tan x - 1 + \sqrt 3  = 0
\end{array}\)

\( \Leftrightarrow {\tan ^2}x - \left( {1 + \sqrt 3 } \right)\tan x + \sqrt 3  = 0\)

Đặt \(t = \tan x\)

Khi đó phương trình trở thành: \({t^2} - \left( {1 + \sqrt 3 } \right)t - \sqrt 3  = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 1}\\{t = \sqrt 3 }\end{array}} \right.\)

+ Với \(t = 1 \Leftrightarrow \tan x = 1\)

\( \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\)

+ Với \(t = \sqrt 3  \Leftrightarrow \tan x = \sqrt 3 \)

\( \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{3} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\)

So sánh với điều kiện (*) suy ra nghiệm của phương trình là:

\(x = \frac{\pi }{4} + k\pi \), \(x = \frac{\pi }{3} + k\pi \) \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Ví dụ 3:

Giải các phương trình sau:

a) \(\sqrt 2 \sin 3x + \sqrt 6 \cos 3x = 2\)

b) \(\left( {2 + \sqrt 3 } \right)\sin x - \cos x = 2 + \sqrt 3 \)

c) \(2\sqrt 2 \left( {\sin x + \cos x} \right)\cos x = 3 + \cos 2x\)

Lời giải:

a) \(\sqrt 2 \sin 3x + \sqrt 6 \cos 3x = 2(1)\)

\( (1)\,\Leftrightarrow \sin 3x + \sqrt 3 \cos 3x = \sqrt 2 \)

\( \Leftrightarrow \sin 3x + \tan \frac{\pi }{3}\cos 3x = \sqrt 2 \)

\( \Leftrightarrow \)

\(\sin 3x\cos \frac{\pi }{3} + \sin \frac{\pi }{3}\cos 3x = \sqrt 2 \cos \frac{\pi }{3} \)

\(\Leftrightarrow \sin \left( {3x + \frac{\pi }{3}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{3x + \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{4} + k2\pi }\\{3x + \frac{\pi }{3} = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi }\end{array}} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{3x =  - \frac{\pi }{{12}} + k2\pi }\\{3x = \frac{{5\pi }}{{12}} + k2\pi }\end{array}} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x =  - \frac{\pi }{{36}} + \frac{{k2\pi }}{3}}\\{x = \frac{{5\pi }}{{36}} + \frac{{k2\pi }}{3}}\end{array}} \right.,k \in \mathbb{Z}\)

Vậy nghiệm của (1) là \(x =  - \frac{\pi }{{36}} + \frac{{k2\pi }}{3}\), \(x = \frac{{5\pi }}{{36}} + \frac{{k2\pi }}{3}\) \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

b) \(\left( {2 + \sqrt 3 } \right)\sin x - \cos x = 2 + \sqrt 3 \) (2)

- Xét \(\cos \frac{x}{2} = 0 \Leftrightarrow x = \pi  + k2\pi \) không là nghiệm của phương trình (2)

- Xét \(\cos \frac{x}{2} \ne 0\). Đặt \(t = \tan \frac{x}{2}\).

Khi đó \(\sin x = \frac{{2t}}{{1 + {t^2}}}\) và \(\cos x = \frac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}}\)

Phương trình (2) trở thành:  \(\left( {2 + \sqrt 3 } \right)\frac{{2t}}{{1 + {t^2}}} - \frac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}} = 2 + \sqrt 3 \)

\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow \left( {2 + \sqrt 3 } \right)2t - 1 + {t^2}\\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left( {2 + \sqrt 3 } \right)\left( {1 + {t^2}} \right)
\end{array}\\
\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow \left( {1 + \sqrt 3 } \right){t^2} - 2\left( {2 + \sqrt 3 } \right)t\\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, + 3 + \sqrt 3  = 0\\
 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{t = 1}\\
{t = \sqrt 3 }
\end{array}} \right.
\end{array}
\end{array}\)

+ Với \(t = 1 \Leftrightarrow \tan \frac{x}{2} = 1\)

\( \Leftrightarrow \frac{x}{2} = \frac{\pi }{4} + k\pi  \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\)

+ Với\(t = \sqrt 3  \Leftrightarrow \tan \frac{x}{2} = \sqrt 3 \)

\( \Leftrightarrow \frac{x}{2} = \frac{\pi }{3} + k\pi  \Leftrightarrow x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\)

Vậy nghiệm của (2) là \(x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \), \(x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \)\(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

c) \(2\sqrt 2 \left( {\sin x + \cos x} \right)\cos x = 3 + \cos 2x\,(3)\) 

\(\begin{array}{l}
(3) \Leftrightarrow 2\sqrt 2 \sin x\cos x + 2\sqrt 2 {\cos ^2}x\\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 3 + \cos 2x\\
 \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin 2x + \sqrt 2 \left( {1 + \cos 2x} \right)\\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 3 + \cos 2x\\
 \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin 2x + \left( {\sqrt 2  - 1} \right)\cos 2x\\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 3 - \sqrt 2 
\end{array}\)

Điều kiện có nghiệm của phương trình:

\({a^2} + {b^2} \ge {c^2}\)

Khi đó: \(2 + {\left( {\sqrt 2  - 1} \right)^2} \ge {\left( {3 - \sqrt 2 } \right)^2} \)

\(\Leftrightarrow 5 - 2\sqrt 2  \ge 11 - 6\sqrt 2 \) (không thỏa)

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

a) Định nghĩa:

Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng \(at + b = 0\) trong đó a, b là các hằng số \(\left( {a \ne 0} \right)\) và t là một trong các hàm số lượng giác.

Ví dụ:

\(\begin{array}{l}
2\sin x - 1 = 0{\mkern 1mu} \\
\cos 2x + \frac{1}{2} = 0;\\
3\tan x - 1 = 0\\
\sqrt 3 \cot x + 1 = 0
\end{array}\)

b) Phương pháp: Đưa về phương trình lượng giác cơ bản. 

a) Dạng phương trình

\(\begin{array}{l}a{\sin ^2}x + b\sin x + c = 0\\a{\cos ^2}x + b\cos x + c = 0\\a{\tan ^2}x + b\tan x + c = 0\\a{\cot ^2}x + b\cot x + c = 0\end{array}\)

b) Cách giải

Đặt:

\(\begin{array}{l}
t = \sin x\,\,( - 1 \le t \le 1)\\
\begin{array}{*{20}{l}}
{t = \cos x\,\,( - 1 \le t \le 1)}\\
{t = \tan x}\\
{t = \cot x}
\end{array}
\end{array}\)

c) Chú ý

Nếu \(a\) là một số cho trước mà \(\tan \alpha \) xác định thì phương trình \(\tan x = \tan \alpha\) có nghiệm \(x = \alpha  + k\pi \) thoả điều kiện \(\cos x \ne 0\).

Phương trình \(\tan P\left( x \right) = \tan Q\left( x \right)\) thì cần phải chú ý đến điều kiện \(\cos P\left( x \right) \ne 0\) và \(\cos Q\left( x \right) \ne 0\).

a) Dạng phương trình

\(a\sin x + b\cos x = c\,\,\,({\rm{1}})\)

Điều kiện có nghiệm: \({a^2} + {b^2} \ge {c^2}\)

b) Cách giải

Cách 1: Chia hai vế của (1) cho \(\sqrt {{a^2} + {b^2}} \), ta được:

\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \)

\(\frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\sin x + \frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\cos x = \frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)

Vì \({\left( {\frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}} \right)^2} + {\left( {\frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}} \right)^2} = 1\) nên ta đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin \varphi  = \frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}}\\{\cos \varphi  = \frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}}\end{array}} \right.\)

Phương trình trở thành:

\(\sin x\sin \varphi  + \cos x\cos \varphi  = \frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} \)

\(\Leftrightarrow \cos \left( {x - \varphi } \right) = \frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)

Đặt \(\cos \alpha  = \frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\) ta được phương trình lượng giác cơ bản.

Hoàn toàn tương tự ta cũng có thể đặt \(\left\{ \begin{array}{l}\cos \varphi  = \frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\\\sin \varphi  = \frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\end{array} \right.\)

Khi đó phương trình trở thành: \({\mathop{\rm sinxcos}\nolimits} \varphi  + cosxsin\varphi  = \frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} \)

\(\Leftrightarrow \sin \left( {x + \varphi } \right) = \frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)

Cách 2:

- Xét \(\cos \frac{x}{2} = 0 \Leftrightarrow x = \pi  + k2\pi ,{\rm{ k}} \in \mathbb{Z}\) có là nghiệm của (1) không

- Xét \(\cos \frac{x}{2} \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \pi  + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\)

Đặt \(t = \tan \frac{x}{2}\).

Khi đó \(\sin x = \frac{{2t}}{{1 + {t^2}}}\) và \(\cos x = \frac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}}\)

Phương trình trở thành:

\(a.\frac{{2t}}{{1 + {t^2}}} + b.\frac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}} = c \)

\( \Leftrightarrow \left( {b + c} \right){t^2} - 2at + c - b = 0\,\,({\rm{2}})\)

Giải (2) theo t, tìm được t thay vào \(t = \tan \frac{x}{2}\) suy ra x

Cách 3:

Nếu \(a \ne 0\) chia 2 vế cho a rồi ta đặt

\(\tan \alpha  = \frac{b}{a}\)   \(\left( { - \frac{\pi }{2} < \alpha  < \frac{\pi }{2}} \right)\)

Phương trình trở thành: 

\(\begin{array}{l}
\sin x + \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}\cos x = \frac{c}{a}\\
 \Leftrightarrow \cos \alpha \sin x + \sin \alpha \cos x = \frac{c}{a}\cos \alpha \\
 \Leftrightarrow \sin (x + \alpha ) = \frac{c}{a}\cos \alpha 
\end{array}\)

Đặt \(\sin \varphi  = \frac{c}{a}\cos \alpha \) ta được phương trình lượng giác cơ bản \(\sin (x + \alpha ) = \sin \varphi \).

4. Bài tập minh họa

Ví dụ 1:

Giải các phương trình sau:

a) \(2\sin x - 1 = 0\,.\)

b) \(\cos 2x + \frac{1}{2} = 0.\)

c) \(3\tan x - 1 = 0.\)

d) \(\sqrt 3 \cot x + 1 = 0.\)

e) \(2\cos x - \sin 2x = 0\)

Lời giải:

a) \(2\sin x - 1 = 0\, \Leftrightarrow \sin x = \frac{1}{2} \)

\(\Leftrightarrow \sin x = \sin \frac{\pi }{6} \)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

b) \(\cos 2x + \frac{1}{2} = 0 \Leftrightarrow \cos 2x = \frac{{ - 1}}{2}\)

\( \Leftrightarrow \cos 2x = \cos \frac{{2\pi }}{3}\)

\( \Leftrightarrow 2x =  \pm \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \)

\(\Leftrightarrow x =  \pm \frac{\pi }{3} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

c) \(3\tan x - 1 = 0 \Leftrightarrow \tan x = \frac{1}{3} \)

\(\Leftrightarrow x = \arctan \frac{1}{3} + k\pi \left( {k \in \mathbb{C}} \right)\)

d) \(\sqrt 3 \cot x + 1 = 0 \Leftrightarrow \cot x = \frac{{ - 1}}{{\sqrt 3 }} \)

\(\Leftrightarrow \cot x = \cot \frac{{2\pi }}{3} \)

\(\Leftrightarrow x = \frac{{2\pi }}{3} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

e) \(\cos x - \sin 2x = 0 \)

\(\Leftrightarrow \cos x - 2\sin x\cos x = 0 \)

\(\Leftrightarrow \cos x\left( {1 - 2\sin x} \right) = 0\)

\(\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\cos x = 0}\\
{1 - 2\sin x = 0}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\cos x = 0}\\
{\sin x = \frac{1}{2}}
\end{array}} \right.\\
 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = \frac{\pi }{2} + k\pi }\\
{x = \frac{\pi }{6} + l\pi }\\
{x = \frac{{5\pi }}{6} + l\pi }
\end{array}} \right.\left( {k,l \in \mathbb{Z}} \right)
\end{array}\)

Ví dụ 2:

Giải các phương trình sau:

a) \(2{\sin ^2}x + \sin x - 3 = 0\)

b) \(co{s^2}x + 3cosx - 1 = 0\)

c) \(3\sin {2^2}x + 7\cos 2x - 3 = 0\)

d) \(\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - \left( {1 + \sqrt 3 } \right)\tan x - 1 + \sqrt 3  = 0\)

Lời giải:

a) \(2{\sin ^2}x + \sin x - 3 = 0\,\,(1)\)

Đặt \(t = \sin x\), điều kiện \(\left| t \right| \le 1\).

Phương trình (1) trở thành:

\(2{t^2} + t - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\;\left( {nhan} \right)\\t = \frac{3}{2}\;\left( {loai} \right)\end{array} \right.\)

Với \(t = 1\), ta được:

\(\sin x = 1 \Leftrightarrow x = k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

b) \({\cos ^2}x + 3\cos x - 1 = 0\left( 2 \right)\)

Đặt \(t = \cos x\), điều kiện \(\left| t \right| \le 1\).

Phương trình (2) trở thành:

\({t^2} + 3t - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{{ - 3 + \sqrt {13} }}{2}\left( {nhan} \right)\\t = \frac{{ - 3 - \sqrt {13} }}{2}\left( {loai} \right)\end{array} \right.\)

Với \(t = \frac{{ - 3 + \sqrt {13} }}{2}\) ta được:

\(\begin{array}{l}
\cos x = \frac{{ - 3 + \sqrt {13} }}{2}\\
 \Leftrightarrow x =  \pm \arccos \frac{{ - 3 + \sqrt {13} }}{2} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)
\end{array}\)

c) \(3{\sin ^2}2x + 7\cos 2x - 3 = 0 \)

\(\Leftrightarrow 3\left( {1 - {{\cos }^2}2x} \right) + 7\cos 2x - 3 = 0\)

\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow 3{\cos ^2}2x - 7\cos 2x = 0\\
 \Leftrightarrow \cos 2x\left( {3\cos 2x - 7} \right) = 0
\end{array}\\
{ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\cos 2x = 0}\\
{3\cos 2x - 7 = 0}
\end{array}} \right.}
\end{array}\)

+) Giải phương trình: \(\cos 2x = 0 \)

\(\Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{2} + k\pi  \)

\(\Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2},\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

+) Giải phương trình: \(3\cos 2x - 7 = 0 \)

\(\Leftrightarrow \cos 2x = \frac{7}{3}\)

Vì \(\frac{7}{3} > 1\) nên phương trình \(3\cos 2x - 7 = 0\) vô nghiệm.

Kết luận: Vậy nghiệm của phương trình đã cho là \(x = \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2},\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

d) \(\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - \left( {1 + \sqrt 3 } \right)\tan x - 1 + \sqrt 3  = 0\)

Điều kiện: \(\cos x \ne 0\)  (*)

\(\begin{array}{l}
pt \Leftrightarrow \\
1 + {\tan ^2}x - \left( {1 + \sqrt 3 } \right)\tan x - 1 + \sqrt 3  = 0
\end{array}\)

\( \Leftrightarrow {\tan ^2}x - \left( {1 + \sqrt 3 } \right)\tan x + \sqrt 3  = 0\)

Đặt \(t = \tan x\)

Khi đó phương trình trở thành: \({t^2} - \left( {1 + \sqrt 3 } \right)t - \sqrt 3  = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 1}\\{t = \sqrt 3 }\end{array}} \right.\)

+ Với \(t = 1 \Leftrightarrow \tan x = 1\)

\( \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\)

+ Với \(t = \sqrt 3  \Leftrightarrow \tan x = \sqrt 3 \)

\( \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{3} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\)

So sánh với điều kiện (*) suy ra nghiệm của phương trình là:

\(x = \frac{\pi }{4} + k\pi \), \(x = \frac{\pi }{3} + k\pi \) \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Ví dụ 3:

Giải các phương trình sau:

a) \(\sqrt 2 \sin 3x + \sqrt 6 \cos 3x = 2\)

b) \(\left( {2 + \sqrt 3 } \right)\sin x - \cos x = 2 + \sqrt 3 \)

c) \(2\sqrt 2 \left( {\sin x + \cos x} \right)\cos x = 3 + \cos 2x\)

Lời giải:

a) \(\sqrt 2 \sin 3x + \sqrt 6 \cos 3x = 2(1)\)

\( (1)\,\Leftrightarrow \sin 3x + \sqrt 3 \cos 3x = \sqrt 2 \)

\( \Leftrightarrow \sin 3x + \tan \frac{\pi }{3}\cos 3x = \sqrt 2 \)

\( \Leftrightarrow \)

\(\sin 3x\cos \frac{\pi }{3} + \sin \frac{\pi }{3}\cos 3x = \sqrt 2 \cos \frac{\pi }{3} \)

\(\Leftrightarrow \sin \left( {3x + \frac{\pi }{3}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{3x + \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{4} + k2\pi }\\{3x + \frac{\pi }{3} = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi }\end{array}} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{3x =  - \frac{\pi }{{12}} + k2\pi }\\{3x = \frac{{5\pi }}{{12}} + k2\pi }\end{array}} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x =  - \frac{\pi }{{36}} + \frac{{k2\pi }}{3}}\\{x = \frac{{5\pi }}{{36}} + \frac{{k2\pi }}{3}}\end{array}} \right.,k \in \mathbb{Z}\)

Vậy nghiệm của (1) là \(x =  - \frac{\pi }{{36}} + \frac{{k2\pi }}{3}\), \(x = \frac{{5\pi }}{{36}} + \frac{{k2\pi }}{3}\) \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

b) \(\left( {2 + \sqrt 3 } \right)\sin x - \cos x = 2 + \sqrt 3 \) (2)

- Xét \(\cos \frac{x}{2} = 0 \Leftrightarrow x = \pi  + k2\pi \) không là nghiệm của phương trình (2)

- Xét \(\cos \frac{x}{2} \ne 0\). Đặt \(t = \tan \frac{x}{2}\).

Khi đó \(\sin x = \frac{{2t}}{{1 + {t^2}}}\) và \(\cos x = \frac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}}\)

Phương trình (2) trở thành:  \(\left( {2 + \sqrt 3 } \right)\frac{{2t}}{{1 + {t^2}}} - \frac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}} = 2 + \sqrt 3 \)

\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow \left( {2 + \sqrt 3 } \right)2t - 1 + {t^2}\\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left( {2 + \sqrt 3 } \right)\left( {1 + {t^2}} \right)
\end{array}\\
\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow \left( {1 + \sqrt 3 } \right){t^2} - 2\left( {2 + \sqrt 3 } \right)t\\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, + 3 + \sqrt 3  = 0\\
 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{t = 1}\\
{t = \sqrt 3 }
\end{array}} \right.
\end{array}
\end{array}\)

+ Với \(t = 1 \Leftrightarrow \tan \frac{x}{2} = 1\)

\( \Leftrightarrow \frac{x}{2} = \frac{\pi }{4} + k\pi  \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\)

+ Với\(t = \sqrt 3  \Leftrightarrow \tan \frac{x}{2} = \sqrt 3 \)

\( \Leftrightarrow \frac{x}{2} = \frac{\pi }{3} + k\pi  \Leftrightarrow x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\)

Vậy nghiệm của (2) là \(x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \), \(x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \)\(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

c) \(2\sqrt 2 \left( {\sin x + \cos x} \right)\cos x = 3 + \cos 2x\,(3)\) 

\(\begin{array}{l}
(3) \Leftrightarrow 2\sqrt 2 \sin x\cos x + 2\sqrt 2 {\cos ^2}x\\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 3 + \cos 2x\\
 \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin 2x + \sqrt 2 \left( {1 + \cos 2x} \right)\\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 3 + \cos 2x\\
 \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin 2x + \left( {\sqrt 2  - 1} \right)\cos 2x\\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 3 - \sqrt 2 
\end{array}\)

Điều kiện có nghiệm của phương trình:

\({a^2} + {b^2} \ge {c^2}\)

Khi đó: \(2 + {\left( {\sqrt 2  - 1} \right)^2} \ge {\left( {3 - \sqrt 2 } \right)^2} \)

\(\Leftrightarrow 5 - 2\sqrt 2  \ge 11 - 6\sqrt 2 \) (không thỏa)

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.