Lý thuyết Ước chung và ước chung lớn nhất Toán 6 Cánh diều

1. Ước chung và ước chung lớn nhất

a) Định nghĩa:

+ Ước chung của hai hay nhiều số là ước của tất cả các số đó.

+ Ước chung lớn nhất của hai hay nhiều số là số lớn nhất trong tập hợp các ước chung của các số đó.

Kí hiệu:

+ ƯC\(\left( {a;b} \right)\) là tập hợp các ước chung của \(a\) và \(b\).

+ ƯCLN\(\left( {a,b} \right)\) là ước chung lớn nhất của \(a\) và \(b\).

Ví dụ: Ư\(\left( 8 \right) = \left\{ {1;2;4;8} \right\}\);

Ư\(\left( {12} \right) = \left\{ {1;2;3;4;6;12} \right\}\)

Nên ƯC\(\left( {8;12} \right) = \left\{ {1;2;4} \right\}\)

Nhận xét:

+) \(x \in \)ƯC\(\left( {a;b} \right)\) nếu \(a \vdots x\) và \(b \vdots x.\)

+) \(x \in \)ƯC\(\left( {a;b;c} \right)\) nếu \(a \vdots x\) ; \(b \vdots x\) và \(c \vdots x.\)

+) ƯC\(\left( {a;b} \right)\) là tập hợp còn ƯCLN\(\left( {a,b} \right)\) là một số.

b) Cách tìm ƯCLN  trong trường hợp đặc biệt:

+) Trong các số cần tìm ƯCLN có số nhỏ nhất là ước của những số còn lại thì số đó là ƯCLN cần tìm:

Nếu \(a \vdots b\) thì ƯCLN \(\left( {a;b} \right) = b\)

+) Số 1 chỉ có 1 ước là 1 nên với mọi số tự nhiên a và b ta có:

ƯCLN\(\left( {a,1} \right)\) =1 và ƯCLN\(\left( {a,b,1} \right)\)=1

2. Cách tìm ước chung lớn nhất –ƯCLN

a) Tìm ƯCLN bằng phân tích các số ra thừa số nguyên tố

Muốn tìm ƯCLN của của hai hay nhiều số lớn hơn 1, ta thực hiện ba bước sau :

Bước 1 : Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.

Bước 2 : Chọn ra các thừa số nguyên tố chung.

Bước 3 : Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất của nó. Tích đó là ƯCLN phải tìm.

Ví dụ : Tìm ƯCLN (18 ; 30)

Ta có :

Bước 1 : phân tích các số ra thừa số nguyên tố.

18 =  2.3²

30 = 2.3.5

Bước 2 : Thừa số nguyên tố chung là \(2\) và \(3\)

Bước 3 : ƯCLN\(\left( {18;30} \right) = 2.3 = 6\)

Chú ý:  

Nếu các số đã cho không có thừa số nguyên tố chung thì ƯCLN của chúng bằng 1.

Hai hay nhiều số có ƯCLN bằng 1 gọi là các số nguyên tố cùng nhau.

b) Cách tìm ƯC từ ƯCLN

Để tìm ước chung của các số đã cho, ta có thể làm như sau:

Bước 1 : Tìm ƯCLN của các số đó..

Bước 2 : Tìm ước của ƯCLN .

Ví dụ: Tìm ƯC\(\left( {18;30} \right)\)

Bước 1: ƯCLN\(\left( {18;30} \right) = 2.3 = 6\)

Bước 2: Ta có ƯC\(\left( {18;30} \right) = \)Ư\(\left( 6 \right) = \left\{ {1;2;3;6} \right\}\)

3.Hai số nguyên tố cùng nhau:

Hai số nguyên tố cùng nhau là 2 số có ước chung lớn nhất bằng 1

Phân số tối giản: \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản nếu ƯCLN\(\left( {a,b} \right) = 1\)

Chú ý: Rút gọn về phân số tối giản

Rút gọn phân số: Chia cả tử và mẫu cho ước chung khác 1 (nếu có) của chúng.

Đưa một phân số chưa tối giản về phân số tối giản: Chia cả tử và mẫu cho ƯCLN\(\left( {a,b} \right)\).

Ví dụ: Phân số \(\frac{9}{{24}}\) tối giản chưa? Nếu chưa, hãy rút gọn về phân số tối giản.

Ta có: ƯCLN\(\left( {9,24} \right) = 3\) khác 1 nên \(\frac{9}{{24}}\) chưa tối giản.

Ta có: \(\frac{9}{{24}} = \frac{{9:3}}{{24:3}} = \frac{3}{8}\). Ta được \(\frac{3}{8}\) là phân số tối giản.