Luyện tập 5 trang 35 Tài liệu dạy – học Toán 8 tập 1

Đề bài

Chứng minh rằng:

a) \({33^{n + 1}} - {33^n}\) chia hết cho 32 (n là số tự nhiên)

b) \({(4n + 7)^2} - 49\) chia hết cho 8 với mọi \(n \in Z\) .

Lời giải chi tiết

\(a)\,\,{33^{n + 1}} - {33^n} = {33^n}\left( {33 - 1} \right) = {33^n}.32\)

Vì 32 chia hết cho 32 nên \({33^n}.32\) chia hết cho 32.

Vậy \({33^{n + 1}} - {33^n}\) chia hết cho 32 (n là số tự nhiên).

\(\eqalign{  & b)\,\,{\left( {4n + 7} \right)^2} - 49  \cr  & \,\,\,\, = {\left( {4n + 7} \right)^2} - {7^2}  \cr  & \,\,\,\, = \left( {4n + 7 - 7} \right)\left( {4n + 7 + 7} \right)  \cr  & \,\,\,\, = 4n\left( {4n + 14} \right)  \cr  & \,\,\,\, = 8n\left( {2n + 7} \right) \cr} \)

Vì 8 chia hết cho 8 nên \(8n\left( {2n + 7} \right)\) chia hết cho 8.

Vậy \({\left( {4n + 7} \right)^2} - 49\) chia hết cho 8 với mọi \(n \in Z\).