Luyện tập 1 trang 138 Tài liệu dạy – học Toán 8 tập 1

Đề bài

Cho hình bình hành ABCD. Các điểm E, F thuộc đường chéo AC sao cho \(AE = EF = FC.\) Gọi M là giao điểm của BF và CD; N là giao điểm của DE và AB. CHứng minh rằng:

a) M, N theo thứ tự là trung điểm của CD và AB.

b) Tứ giác EMFN là hình bình hành.

Lời giải chi tiết

a) Gọi I là tâm đối xứng của hình bình hành ABCD

\( \Rightarrow I\) là trung điểm của AC và BD \( \Rightarrow IA = IC\)

\( \Rightarrow IA - AE = IC - FC\)  (vì \(AE = FC\))

\( \Rightarrow EI = FI \Rightarrow I\) là trung điểm của EF.

Tứ giác DEBF có DB và EF cắt nhau tại I (I là tâm đối xứng, \(E,F \in AC\))

I là trung điểm của BD và I là trung điểm của EF.

Do đó tứ giác DEBF là hình bình hành

\( \Rightarrow DE//BF \Rightarrow EN//BF\,\,\left( {N \in DE} \right)\)

Mà E là trung điểm của AF \(\left( {AE = EF} \right)\) nên N là trung điểm của AB.

\(\Delta DEC\) có \(MF//DE\,\,\left( {DE//BF,\,\,M \in BF} \right)\) và F là trung điểm của EC \(\left( {EF = FC} \right)\)

\( \Rightarrow M\) là trung điểm của CD.

b) Ta có

\(AN = {{AB} \over 2}\)  (N là trung điểm của AB)

\(MC = {{CD} \over 2}\) (M là trung điểm của CD)

\(AB = CD\) (ABCD là hình bình hành)

\( \Rightarrow AN = MC\)

Xét tam giác AEN và tam giác MFC ta có :

\(\eqalign{  & AE = FC\,\,\left( {gt} \right)  \cr  & AN = MC \cr} \)

\(\widehat {NAE} = \widehat {FCM}\) (hai góc so le trong và AB // CD)

Do đó \(\Delta AEN = \Delta CFM\,\,\left( {c.g.c} \right)\)

Tứ giác EMFN có EN // MF \(\left( {DE//BF,\,\,N \in DF,\,\,M \in BF} \right)\)

Và \(EN = MF\,\,\left( {\Delta AEN = \Delta CFM} \right)\). Do đó tứ giác EMFN là hình bình hành.