Giải mục 4 trang 54, 55, 56 Chuyên đề học tập Toán 10 - Chân trời sáng tạo

HĐ4

Cho điểm M (x; y) trên hypebol (H) \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\), và hai đường thẳng \({\Delta _1}:x + \frac{a}{e} = 0\) và \({\Delta _2}:x - \frac{a}{e} = 0\) (Hình 7). Gọi \(d(M,{\Delta _1}),d(M,{\Delta _2})\) lần lượt là khoảng cách từ M đến các đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}.\)

Ta có \(\frac{{M{F_1}}}{{d(M,{\Delta _1})}} = \frac{{\left| {a + ex} \right|}}{{\left| {x + \frac{a}{e}} \right|}} = \frac{{\left| {a + ex} \right|}}{{\frac{{\left| {a + ex} \right|}}{e}}} = e\)

Dựa theo cách tính trên, tính  \(\frac{{M{F_2}}}{{d(M,{\Delta _2})}}\).

Lời giải chi tiết:

Ta có:

 \(M{F_2} = \left| {a - ex} \right|\); \(d(M,{\Delta _2}) = \left| {x - \frac{a}{e}} \right|\)

\( \Rightarrow \frac{{M{F_1}}}{{d(M,{\Delta _1})}} = \frac{{\left| {a - ex} \right|}}{{\left| {x - \frac{a}{e}} \right|}} = \frac{{\left| {a - ex} \right|}}{{\frac{{\left| {a - ex} \right|}}{e}}} = e\) ;

Vậy \(\frac{{M{F_1}}}{{d(M,{\Delta _1})}} = \frac{{M{F_2}}}{{d(M,{\Delta _2})}} = e.\)

Thực hành 4

Tìm tọa độ hai tiêu điểm và viết phương trình hai đường chuẩn tương ứng của các hypebol sau:

a)  \(({H_1}):\frac{{{x^2}}}{4} - \frac{{{y^2}}}{1} = 1\)

b) \(({H_2}):\frac{{{x^2}}}{{36}} - \frac{{{y^2}}}{{64}} = 1\)

c) \(({H_3}):\frac{{{x^2}}}{9} - \frac{{{y^2}}}{9} = 1\)

Phương pháp giải:

Cho hypebol \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\).

+ Ứng với tiêu điểm \({F_1}( - c;0)\), có đường chuẩn \({\Delta _1}:x + \frac{a}{e} = 0\)

+ Ứng với tiêu điểm \({F_2}(c;0)\), có đường chuẩn \({\Delta _2}:x - \frac{a}{e} = 0\)

Lời giải chi tiết:

a) Hypebol \(({H_1})\) có \(a = 2,b = 1\), suy ra \(c = \sqrt {{a^2} + {b^2}}  = \sqrt 5 ,e = \frac{c}{a} = \frac{{\sqrt 5 }}{2};\frac{a}{e} = \frac{{4\sqrt 5 }}{5}\)

+ Ứng với tiêu điểm \({F_1}( - \sqrt 5 ;0)\), có đường chuẩn \({\Delta _1}:x + \frac{{4\sqrt 5 }}{5} = 0\)

+ Ứng với tiêu điểm \({F_2}\left( {\sqrt 5 ;0} \right)\), có đường chuẩn \({\Delta _2}:x - \frac{{4\sqrt 5 }}{5} = 0\)

b) Hypebol \(({H_2})\) có \(a = 6,b = 8\), suy ra \(c = \sqrt {{a^2} + {b^2}}  = 10,e = \frac{c}{a} = \frac{5}{3};\frac{a}{e} = \frac{{18}}{5}\)

+ Ứng với tiêu điểm \({F_1}( - 10;0)\), có đường chuẩn \({\Delta _1}:x + \frac{{18}}{5} = 0\)

+ Ứng với tiêu điểm \({F_2}\left( {10;0} \right)\), có đường chuẩn \({\Delta _2}:x - \frac{{18}}{5} = 0\)

c) Hypebol \(({H_3})\) có \(a = b = 3\), suy ra \(c = \sqrt {{a^2} + {b^2}}  = 3\sqrt 2 ,e = \frac{c}{a} = \sqrt 2 ;\frac{a}{e} = \frac{{3\sqrt 2 }}{2}\)

+ Ứng với tiêu điểm \({F_1}( - 3\sqrt 2 ;0)\), có đường chuẩn \({\Delta _1}:x + \frac{{3\sqrt 2 }}{2} = 0\)

+ Ứng với tiêu điểm \({F_2}\left( {3\sqrt 2 ;0} \right)\), có đường chuẩn \({\Delta _2}:x - \frac{{3\sqrt 2 }}{2} = 0\)

Vận dụng 5

Lập phương trình chính tắc của hypebol có tiêu cự bằng 26 và khoảng cách giữa hai đường chuẩn là \(\frac{{288}}{{13}}\).

Phương pháp giải:

Cho hypebol (H): \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\).

+ Tiêu cự: \(2c = 2\sqrt {{a^2} + {b^2}} \)

+ Khoảng cách giữa hai đường chuẩn là: \(\frac{{2a}}{e}\)

Lời giải chi tiết:

Gọi hypebol (H) cần tìm là: \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\). \((0 < b < a)\)

+ Tiêu cự: \(2c = 26 \Leftrightarrow c = 13\)

+ Khoảng cách giữa hai đường chuẩn là: \(\frac{{2a}}{e} = 2.\frac{{{a^2}}}{c} = \frac{{288}}{{13}} \Rightarrow a = 12\)

Suy ra \(b = \sqrt {{c^2} - {a^2}}  = 5\)

Vậy PTCT của (H) là \(\frac{{{x^2}}}{{144}} - \frac{{{y^2}}}{{25}} = 1\)