Giải mục 3 trang 41, 42, 43 SGK Toán 8 - Cùng khám phá

Cho hai phân thức

Hoạt động 4

Cho hai phân thức \(\frac{7}{{{x^2} + 3x}}\) và \(\frac{9}{{2x + 6}}.\)

a) Quy đồng mẫu thức hai phân thức đó

b) Cộng các phân thức có cùng mẫu thức tìm được ở câu a.

Phương pháp giải:

a) Ta tìm mẫu thức chung

Tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu thức;

Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng.

b) Dùng quy tắc cộng hai phân thức có cùng mẫu thức, ta cộng các tử thức với nhau và giữ nguyên mẫu thức.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: \(\frac{7}{{{x^2} + 3x}} = \frac{7}{{x\left( {x + 3} \right)}} = \frac{{14}}{{2x\left( {x + 3} \right)}}\) và \(\frac{9}{{2x + 6}} = \frac{9}{{2\left( {x + 3} \right)}} = \frac{{9x}}{{2x\left( {x + 3} \right)}}\)

b) Có: \(\frac{{14}}{{2x\left( {x + 3} \right)}} + \frac{{9x}}{{2x\left( {x + 3} \right)}} = \frac{{14 + 9x}}{{2{x^2} + 6x}}\)

Luyện tập 4

Tính tổng của hai phân thức \(\frac{b}{{ab - {a^2}}}\) và \(\frac{a}{{ab - {b^2}}}\)

Phương pháp giải:

Ta quy đồng mẫu thức rồi cộng các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được.

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\frac{b}{{ab - {a^2}}} = \frac{b}{{a\left( {b - a} \right)}} = \frac{{{b^2}}}{{ab\left( {b - a} \right)}}\) và \(\frac{a}{{ab - {b^2}}} = \frac{a}{{b\left( {a - b} \right)}} = \frac{{ - a}}{{b\left( {b - a} \right)}} = \frac{{ - {a^2}}}{{ab\left( {b - a} \right)}}\)

Có: \(\frac{b}{{ab - {a^2}}} + \frac{a}{{ab - {b^2}}} = \frac{{{b^2}}}{{ab\left( {b - a} \right)}} + \left( {\frac{{ - {a^2}}}{{ab\left( {b - a} \right)}}} \right) = \frac{{{b^2} - {a^2}}}{{ab\left( {b - a} \right)}} = \frac{{\left( {b - a} \right)\left( {b + a} \right)}}{{ab\left( {b - a} \right)}} = \frac{{b + a}}{{ab}}\)

Luyện tập 5

Thực hiện phép cộng: \(\frac{{5x}}{{{x^2} + 6x + 9}} + \frac{{x + 2}}{{x + 3}} + \frac{{3 - 4x}}{{{x^2} + 6x + 9}}.\)

Phương pháp giải:

Ta quy đồng mẫu thức rồi cộng các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{{5x}}{{{x^2} + 6x + 9}} + \frac{{x + 2}}{{x + 3}} + \frac{{3 - 4x}}{{{x^2} + 6x + 9}} = \frac{{5x}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}} + \frac{{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}} + \frac{{3 - 4x}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}}\\ = \frac{{5x + {x^2} + 5x + 6 + 3 - 4x}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} + 6x + 9}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}} = \frac{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}} = 1\end{array}\)

Vận dụng 1

Một vận động viên thi đấu trong một chặng đua xe đạp dài 120 km. Nửa chặng đường đầu vận động viên đó đạp xe với vận tốc là \(v\left( {km/h} \right)\). Nửa chặng đường sau, vận động viên đó đạp xe với vận tốc nhỏ hơn 4 km/h so với tốc độ nửa chặng đường đầu.

a) Viết hai phân thức theo \(v\) lần lượt biểu diễn thời gian để vận động viên đó hoàn thành nửa chặng đua đầu và nửa chặng đua sau.

b) Tìm phân thức theo \(v\) biểu diễn thời gian để vận động viên đó hoàn thành cả chặng đua.

c) Tính thời gian để vận động viên đó hoàn thành chặng đua nếu \(v = 40\left( {km/h}

Phương pháp giải:

a) Ta dùng công thức: Quãng đường = vận tốc. thời gian

Viết hai phân thức biểu diễn thời gian vận động viên đó hoàn thành nữa chặng đua đầu và nửa chặng đua sau.

b) Cộng hai phân thức tìm được ở ý a.

c) Thay \(v = 40\) vào biểu thức tìm được ở ý b.

Lời giải chi tiết:

a) Thời gian để vận động viên đó hoàn thành nửa chặng đua đầu là: \(\frac{{120:2}}{v} = \frac{{60}}{v}\left( h \right)\)

Thời gian để vận động viên đó hoàn thành nửa chặng đua sau là:\(\frac{{60}}{{v - 4}}\left( h \right)\)

b) Thời gian để vận động viên đó hoàn thành cả chặng đua là: \(\frac{{60}}{v} + \frac{{60}}{{v - 4}}\left( h \right)\)