Giải mục 3 trang 28, 29 SGK Toán 8 - Cùng khám phá

Hoạt động 3

Cho đa thức \({x^2} - 6x + 2xy - 12y.\)

1. Các hạng tử của đa thức trên có nhân tử chung không?
2. Viết \({x^2} - 6x + 2xy - 12y = \left( {{x^2} - 6x} \right) + \left( {2xy - 12y} \right)\) rồi phân tích mỗi đa thức trong ngoặc thành nhân tử. Từ đó phân tích đa thức \({x^2} - 6x + 2xy - 12y\) thành nhân tử. 

Phương pháp giải:

Áp dụng các phương pháp tìm nhân tử chung vừa học để xác định đa thức trên có nhân tử chung không.

Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp tìm nhân tử chung.

Lời giải chi tiết:

1)    Các hạng tử của đa thức trên không có nhân tử chung

2)    \(\begin{array}{l}{x^2} - 6x + 2xy - 12y = \left( {{x^2} - 6x} \right) + \left( {2xy - 12y} \right)\\ = x\left( {x - 6} \right) + 2y\left( {x - 6} \right)\\ = \left( {x + 2y} \right).\left( {x - 6} \right)\end{array}\)

Luyện tập 4

Phân tích đa thức sau thành nhân tử: \(2{x^2}y + {x^2}z - 2{y^2} - yz\).

Phương pháp giải:

Áp dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}2{x^2}y + {x^2}z - 2{y^2} - yz\\ = \left( {2{x^2}y + {x^2}z} \right) - \left( {2{y^2} + yz} \right)\\ = {x^2}\left( {2y + z} \right) - y\left( {2y + z} \right)\\ = \left( {{x^2} - y} \right).\left( {2y + z} \right)\end{array}\)

Vận dụng 2

Tính nhanh: \(91.122,5 - 91.17,5 + 122,5.9 - 17,5.9\).

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử để tính nhanh.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}91.122,5 - 91.17,5 + 122,5.9 - 17,5.9\\ = \left( {91.122,5 + 122,5.9} \right) - \left( {91.17,5 + 17,5.9} \right)\\ = 122,5\left( {91 + 9} \right) - 17,5\left( {91 + 9} \right)\\ = \left( {122,5 - 17,5} \right).\left( {91 + 9} \right)\\ = 105.100\\ = 10500\end{array}\)

Luyện tập 5

Phân tích đa thức sau thành nhân tử: \({x^2} + {x^3} - {y^2} - {y^3}\)

Phương pháp giải:

Áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}{x^2} + {x^3} - {y^2} - {y^3} = \left( {{x^2} - {y^2}} \right) + \left( {{x^3} - {y^3}} \right)\\ = \left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right) + \left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right)\\ = \left( {x - y} \right).\left( {x + y + {x^2} + xy + {y^2}} \right)\end{array}\)

Vận dụng 3

Trả lời câu hỏi nêu trong phần Khởi động: Hưng nhận xét rằng nếu \(n\)là số nguyên dương thì \({n^3} - n\) luôn là tích của ba số tự nhiên liên tiếp. Nhận xét của Hưng đúng hay sai?

Phương pháp giải:

Áp dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để kiểm tra nhận xét của Hưng đúng hay sai.

Lời giải chi tiết:

Xét biểu thức \({n^3} - n\) ta thấy:

\({n^3} - n = n\left( {{n^2} - 1} \right) = n\left( {n - 1} \right)\left( {n + 1} \right)\)

Mà \(n - 1,n,n + 1\) là ba số tự nhiên liên tiếp.

Vậy \({n^3} - n\) là tích của ba số tự nhiên liên tiếp.