Giải mục 1 trang 72 SGK Toán 7 tập 2 - Kết nối tri thức

1. Sự đồng quy của ba đường trung tuyến trong một tam giác

Câu hỏi

Mỗi tam giác có mấy đường trung tuyến?

Phương pháp giải:

Đoạn thẳng nối đỉnh của tam giác với trung điểm cạnh đối diện được gọi là một đường trung tuyến của tam giác.

Lời giải chi tiết:

Tương ứng với mỗi đỉnh của tam giác có 1 đường trung tuyến nên mỗi tam giác có 3 đường trung tuyến.

HĐ 1

Hãy lấy một mảnh giấy hình tam giác, gấp giấy đánh dấu trung điểm của các cạnh. Sau đó, gấp giấy để được các nếp gấp đi qua đỉnh và trung điểm của cạnh đối diện ( tức là các đường trung tuyến của tam giác). Mở tờ giấy ra, quan sát và cho biết ba nếp gấp ( ba đường trung tuyến) có cùng đi qua một điểm không?

Phương pháp giải:

Gấp theo hướng dẫn

Lời giải chi tiết:

Ba nếp gấp đi qua cùng một điểm.

HĐ 2

Trên mảnh giấy kẻ ô vuông, mỗi chiều 10 ô, hãy đếm dòng, đánh dấu các đỉnh A,B,C rồi vẽ tam giác ABC. (H.9.29)

Vẽ hai đường trung tuyến BN, CP, chúng cát nhau tại G, tia AG cắt cạnh BC tại M.

• AM có phải là đường trung tuyến của tam giác ABC không?
• Hãy xác định các tỉ số \(\dfrac{{GA}}{{MA}};\dfrac{{GB}}{{NB}};\dfrac{{GC}}{{PC}}\)

Phương pháp giải:

• Kiểm tra M có là trung điểm của BC không?
• Đếm các độ dài và tính tỉ số.

Lời giải chi tiết:

• Ta có: MB = MC và M nằm giữa B và C nên M là trung điểm của BC.

Do đó, AM có là đường trung tuyến của tam giác ABC

• Ta có:

\(\begin{array}{l}\dfrac{{GA}}{{MA}} = \dfrac{6}{9} = \dfrac{2}{3};\\\dfrac{{GB}}{{NB}} = \dfrac{2}{3};\\\dfrac{{GC}}{{PC}} = \dfrac{2}{3}\end{array}\)

Luyện tập 1

Trong tam giác ABC ở ví dụ 1, cho trung tuyến BN và GN = 1 cm. Tính GB và NB.

Phương pháp giải:

Sử dụng định lí về sự đồng quy của ba đường trung tuyến của tam giác.

Lời giải chi tiết:

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên \(\dfrac{{GB}}{{NB}} = \dfrac{2}{3} \Leftrightarrow GB = \dfrac{2}{3}NB\)

Ta có: GN = NB – GB = \(NB - \dfrac{2}{3}NB = \dfrac{1}{3}NB\)

Mà GN = 1 cm nên 1 = \(\dfrac{1}{3}.NB \Rightarrow NB = 3\)( cm)

\(GB = \dfrac{2}{3}NB = \dfrac{2}{3}.3 = 2\) ( cm)

Vậy GB = 2 cm, NB = 3 cm.

Tranh luận

Phương pháp giải:

Sử dụng định lí về sự đồng quy của ba đường trung tuyến của tam giác.

Lời giải chi tiết:

Cách 1: Tìm giao điểm của 2 đường trung tuyến.

Cách 2: Vẽ 1 đường trung tuyến. Lấy điểm G cách đỉnh một khoảng bằng \(\dfrac{2}{3}\)độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh đó. Ta được G là trọng tâm tam giác.

Vận dụng 1

Trong tình huống mở đầu, người ta chứng minh được G chính là trọng tâm của tam giác ABC. Em hãy cắt một mảnh bìa hình tam giác. Xác định trọng tâm của tam giác và đặt mảnh bìa đó lên một giá nhọn tại trọng tâm vừa xác định. Quan sát xem mảnh bìa có thăng bằng không

Phương pháp giải:

Bước 1: Cắt mảnh bìa hình tam giác.

Bước 2: Kẻ 2 đường trung tuyến của tam giác ABC, chúng cắt nhau tại G.

Bước 3: Đặt mảnh bìa đó lên một giá nhọn tại trọng tâm G.

Lời giải chi tiết:

Cắt mảnh bìa hình tam giác. Kẻ 2 đường trung tuyến của tam giác ABC, chúng cắt nhau tại G.

Đặt mảnh bìa đó lên một giá nhọn tại trọng tâm G thì thấy mảnh bìa thăng bằng.