Giải mục 1 trang 11, 12 SGK Toán 9 tập 1 - Kết nối tri thức

HĐ1

Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 11 SGK Toán 9 Kết nối tri thức

Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 3\\2x - 3y = 1\end{array} \right..\) Giải hệ phương trình theo hướng dẫn sau:

1. Từ phương trình thứ nhất, biểu diễn y theo x rồi thế vào phương trình thứ hai để được một phương trình với một ẩn x. Giải phương trình một ẩn đó để tìm giá trị của x.

2. Sử dụng giá trị tìm được của x để tìm giá tị của y rồi viết nghiệm của hệ phương trình đã cho. 

Phương pháp giải:

a) Từ phương trình thứ nhất ta có \(y = 3 - x\) ta thay vào phương trình thứ 2 ta được \(2x - 3\left( {3 - x} \right) = 1\) từ đó ta giải được \(x = 2\)

b) Thay \(x = 2\) vào phương trình thứ nhất, ta giải được y rồi kết luận nghiệm của hệ phương trình. 

Lời giải chi tiết:

1. Ta có \(x + y = 3\) suy ra \(y = 3 - x\) thay vào phương trình \(2x - 3y = 1\) ta được:

\(\begin{array}{l}2x - 3\left( {3 - x} \right) = 1\\2x - 9 + 3x = 1\\5x = 10\\x = 2\end{array}\)

2. Với \(x = 2\) suy ra \(y = 3 - 2 = 1.\) Vậy \(\left( {2;1} \right)\) là nghiệm của hệ phương trình đã cho. 

LT1

Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 12 SGK Toán 9 Kết nối tri thức

Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:

a) \(\left\{ \begin{array}{l}x - 3y = 2\\ - 2x + 5y = 1;\end{array} \right.\)

b) \(\left\{ \begin{array}{l}4x + y =  - 1\\7x + 2y = 1.\end{array} \right.\)

Phương pháp giải:

Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế:

Từ một phương trình của hệ, biểu diễn x theo y (hoặc y theo x) rồi thế vào phương trình còn lại để được phương trình một ẩn. Giải phương trình vừa nhận được ta được nghiệm của hệ phương trình. 

Lời giải chi tiết:

a) Từ phương trình \(x - 3y = 2\) ta có \(x = 2 + 3y.\)

Thế vào phương trình thứ hai của hệ, ta được \( - 2\left( {2 + 3y} \right) + 5y = 1\) hay \( - 4 - y = 1\) suy ra \(y = - 5.\) Từ đó \(x = 2 + 3.\left( { - 5} \right) = - 13.\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm là \(\left( { - 13; - 5} \right).\)

b) Từ phương trình \(4x + y = - 1\) ta có \(y = - 1 - 4x.\)

Thế vào phương trình thứ hai của hệ, ta được \(7x + 2\left( { - 1 - 4x} \right) = 1\) hay \( - x - 2 = 1\) suy ra \(x = - 3.\) Từ đó \(y = - 1 - 4.\left( { - 3} \right) = 11.\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm là \(\left( { - 3;11} \right).\)

LT2

Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 12 SGK Toán 9 Kết nối tri thức

Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l} - 2x + y = 3\\4x - 2y =  - 4\end{array} \right.\) bằng phương pháp thế

Phương pháp giải:

Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế:

Từ một phương trình của hệ, biểu diễn x theo y (hoặc y theo x) rồi thế vào phương trình còn lại để được phương trình một ẩn. Giải phương trình vừa nhận được ta được nghiệm của hệ phương trình. 

Lời giải chi tiết:

Ta có \( - 2x + y = 3\) hay \(y = 3 + 2x\), thế vào phương trình thứ hai của hệ ta được

\(\begin{array}{l}4x - 2\left( {3 + 2x} \right) = - 4\\0x - 6 = - 4\end{array}\)

\(0x = 2\) (vô lí) (1)

Do không có giá trị nào của y thỏa mãn hệ thức (1) nên hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

LT3

Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 12 SGK Toán 9 Kết nối tri thức

Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + 3y =  - 1\\3x + 9y =  - 3\end{array} \right.\) bằng phương pháp thế

Phương pháp giải:

Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế:

Từ một phương trình của hệ, biểu diễn x theo y (hoặc y theo x) rồi thế vào phương trình còn lại để được phương trình một ẩn. Giải phương trình vừa nhận được ta được nghiệm của hệ phương trình. 

Lời giải chi tiết:

Ta có \(x + 3y = - 1\) hay \(x = - 1 - 3y\) (2) , thế vào phương trình thứ hai của hệ ta được

\(\begin{array}{l}3\left( { - 1 - 3y} \right) + 9y = - 3\\0y - 3 = - 3\end{array}\)

\(0y = 0\) (luôn đúng) (1)

Ta thấy với mọi \(y \in \mathbb{R}\) thì đều thỏa mãn phương trình (1), ứng với mỗi y ta tìm được một x tương ứng được tính bởi (2) .

Vậy hệ phương trình có nghiệm \(\left( { - 1 - 3y;y} \right)\) với \(y \in \mathbb{R}\) tùy ý.

VD1

Trả lời câu hỏi Vận dụng 1 trang 12 SGK Toán 9 Kết nối tri thức

Xét bài toán trong tình huống mở đầu. Gọi x là số luống trong vườn, y là số cây cải bắp trồng ở mỗi luống \(\left( {x;y \in {\mathbb{N}^*}} \right).\)

a) Lập hệ phương trình đối với hai ẩn x,y.

b) Giải hệ phương trình nhận được ở câu a để tìm câu trả lời cho bài toán.

Phương pháp giải:

Tình huống mở đầu: Một mảnh vườn được đánh thành nhiều luống, mỗi luống trồng cùng một số cây bắp cải. Hãy tính số cây bắp cải trồng được trên mảnh vườn đó, biết rằng:

- Nếu tăng thêm 8 luống, nhưng mỗi luống trồng ít đi 3 cây thì số bắp cải của cả vườn ít sẽ ít đi 108 cây;

- Nếu giảm đi 4 luống, nhưng mỗi luống sẽ trồng thêm 2 cây thì số bắp cải cả vườn sẽ tăng thêm 64 cây.

Ba yếu tố ta cần quan tâm trong bài này là số luống (x) , số cây bắp cải trong 1 luống (y) , và tổng số bắp cải trồng được trong vườn và mối liên hệ giữa chúng (tổng số cây bắp cải trong vườn = số luống x số cây bắp cải trong một luống 

Lời giải chi tiết:

a) Số cây cải trồng trong vườn là \(xy\)

Nếu tăng thêm 8 luống, tức số luống sẽ là \(x + 8\); số bắp cải trồng trong 1 luống giảm đi 3 tức là số cây trong 1 luống sẽ là \(y - 3\), số bắp cải của cả vườn ít sẽ ít đi 108 cây nên ta có \(\left( {x + 8} \right)\left( {y - 3} \right) + 108 = xy\) suy ra \( - 3x + 8y =  - 84.\)

Nếu giảm đi 4 luống, tức số luống sẽ là \(x - 4\), nhưng mỗi luống sẽ trồng thêm 2 cây, tức số cây trong 1 luống sẽ là \(y + 2\) thì số bắp cải cả vườn sẽ tăng thêm 64 cây nên ta có \(\left( {x - 4} \right)\left( {y + 2} \right) - 64 = xy\) suy ra \(2x - 4y = 72.\)

Nên ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l} - 3x + 8y =  - 84\\2x - 4y = 72\end{array} \right.\)

b) Ta có \( - 3x + 8y =  - 84\) suy ra \(x = \frac{{84 + 8y}}{3}\) thế vào phương trình thứ hai của hệ ta được \(2.\frac{{84 + 8y}}{3} - 4y = 72\) suy ra \(\frac{4}{3}y = 16\) nên \(y = 12.\)

Với \(y = 12\) nên \(x = \frac{{84 + 8.12}}{3} = 60.\)

Vậy số luống là 60, số cây trong 1 luống là 12 cây.