Giải đề thi học kì 2 toán lớp 10 năm 2019 - 2020 trường THPT Yên Hòa - Hà Nội

Đề bài

PHẦN I: TRẮC NGHIỆM (4 điểm).

Hãy chọn và ghi lại chữ cái trước đáp án mà em chọn vào bài làm.

Câu 1: Trong các cung lượng giác có số đo sau, cung nào có cùng điểm cuối với cung có số đo \(\dfrac{{13\pi }}{4}?\)

A. \(\dfrac{{3\pi }}{4}\)

B. \( - \dfrac{{3\pi }}{4}\)

C. \( - \dfrac{\pi }{4}\)

D. \(\dfrac{\pi }{4}\)

Câu 2: Cho \(\sin \alpha  = \dfrac{1}{2},\) giá trị của biểu thức \(P = 3{\cos ^2}\alpha  + 4{\sin ^2}\alpha \) bằng

A. \(\dfrac{{13}}{4}\)

B. \(\dfrac{7}{4}\)

C. \(\dfrac{{15}}{4}\)

D. \(7\)

Câu 3: Cho \(A,B,C\) là ba góc của một tam giác. Khằng định nào sau đây là sai?

A. \(\cos \left( {A + B} \right) =  - \cos C\)

B. \(\cot \dfrac{A}{2} = \tan \left( {\dfrac{{B + C}}{2}} \right)\)

C. \(\cos \left( {A + C} \right) - \cos B = 0\)

D. \(\cos \left( {2A + B + C} \right) =  - \cos A\)

Câu 4: Cho điểm \(B\left( {0;3} \right)\) và đường thẳng \(\Delta :x - 5y - 2 = 0\). Đường thẳng đi qua B và song song với \(\Delta \) có phương trình là:

A. \(x - 5y - 15 = 0\)

B. \(5x + y - 3 = 0\)

C. \(5x - y + 3 = 0\)

D. \(x - 5y + 15 = 0\)

Câu 5: Trong mặt phẳng \(Oxy,\) tọa độ giao điểm của hai đường thẳng \(\left( \Delta  \right):2x + y - 3 = 0\) và \(\left( d \right):\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + t\\y = t\end{array} \right.\)  là

A. \(\left( {0;3} \right)\)

B. \(\left( { - 2;1} \right)\)

C. \(\left( {3;0} \right)\)

D. \(\left( {2; - 1} \right)\)

Câu 6: Phương trình tiếp tuyến tại điểm \(M\left( {3;4} \right)\) với đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 2x - 4y - 3 = 0\) là

A. \(x - y - 7 = 0\)

B. \(x + y + 7 = 0\)

C. \(x + y - 7 = 0\)

D. \(x + y - 3 = 0\)

Câu 7: Cho Elip \(\left( E \right)\) có phương trình chính tắc là: \(\dfrac{{{x^2}}}{{25}} + \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1.\) Khẳng định nào sau đây là sai ?

A. Tâm sai của \(\left( E \right)\) là \(e = \dfrac{5}{4}\).

B. Tọa độ các đỉnh nằm trên trục lớn là \(A\left( {5;0} \right),A'\left( { - 5;0} \right)\).

C. Độ dài tiêu cự là \(8.\)

D. Tọa độ các đỉnh nằm trên trục nhỏ là \(B\left( {0;3} \right),B'\left( {0; - 3} \right)\).

Câu 8: Cho nhị thức \(f\left( x \right) = ax + b,a \ne 0\) và số \(\alpha \) thỏa mãn điều kiện \(a.f\left( \alpha  \right) < 0\). Khi đó:

A. \(a > \dfrac{{ - b}}{a}\)

B. \(\alpha  < \dfrac{b}{a}\)

C. \(\alpha  > \dfrac{b}{a}\)

D. \(\alpha  < \dfrac{{ - b}}{a}\)

Câu 9: Giá trị của \(m\) để hàm số \(y = \left( {2m - 1} \right)x + 1\) luôn đồng biến là

A. \(m =  - \dfrac{1}{2}\)

B. \(m = \dfrac{1}{2}\)

C. \(m > \dfrac{1}{2}\)

D. \(m < \dfrac{1}{2}\)

Câu 10: Bảng xét dấu sau là của biểu thức \(f\left( x \right)\) nào dưới đây?

 

A. \(f\left( x \right) =  - {x^2} + x - 6\)

B. \(f\left( x \right) = {x^2} + x - 6\)

C. \(f\left( x \right) =  - {x^2} - x + 6\)

D. \(f\left( x \right) = {x^2} - x - 6\)

Câu 11: Tập nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 4x + 3 < 0\\ - 6x + 12 > 0\end{array} \right.\) là

A. \(\left( {1;3} \right)\)

B. \(\left( {1;2} \right)\)

C. \(\left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)\)

D. \(\left( { - \infty ;2} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)\)

Câu 12: Cho \(\cos a =  - \dfrac{5}{{13}}\) và \(\pi  < a < \dfrac{{3\pi }}{2}\). Tính \(\sin 2a\).

A. \(\sin 2a =  - \dfrac{{120}}{{169}}\)

B. \(\sin 2a =  \pm \dfrac{{120}}{{169}}\)

C. \(\sin 2a = \dfrac{{119}}{{169}}\)

D. \(\sin 2a = \dfrac{{120}}{{169}}\)

Câu 13: Đẳng thức nào sau đây là sai? (với điều kiện các biểu thức xác đinh)

A. \(\cos \left( {\alpha  - \beta } \right)\) \( = \cos \alpha \cos \beta  - \sin \alpha \sin \beta \)

B. \(\sin \left( {\alpha  - \beta } \right)\) \( = \sin \alpha \cos \beta  - \cos \alpha \sin \beta \)

C. \(\sin \left( {\alpha  + \beta } \right)\) \( = \sin \alpha \cos \beta  + \cos \alpha \sin \beta \)

D. \(\tan \left( {\alpha  - \beta } \right) = \dfrac{{\tan \alpha  - \tan \beta }}{{1 + \tan \alpha .\tan \beta }}\)

Câu 14: Biểu thức \(A = \dfrac{{1 + \sin 2x + \cos 2x}}{{1 + \sin 2x - \cos 2x}}\) được rút gọn thành

A. \(\tan x\)

B. \(2\cot x\)

C. \(\cot x\)

D. \(\tan 2x\)

Câu 15: Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng \({\Delta _1}:x - 2y + 3 = 0\) và \({\Delta _2}:x + 3y - 5 = 0\)

A. \({60^0}\)

B. \({45^0}\)

C. \({30^0}\)

D. \({135^0}\)

Câu 16: Phương trình nào sau đây là phương trình đường tròn có tâm \(I\left( {1;3} \right)\) và bán kính bằng \(3\)?

A. \({x^2} + {y^2} - 2x - 6y = 0\)

B. \({x^2} + {y^2} - 2x - 6y + 1 = 0\)

C. \({x^2} + {y^2} - 2x + 3y = 0\)

D. \({x^2} + {y^2} - 3y - 8 = 0\)

PHẦN II: TỰ LUẬN (6 điểm).

Câu 17: (1,5 điểm)

a) (0,75 điểm) Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào \(x\).

\(A = \sin \left( {x + 3\pi } \right) + \cos \left( {\dfrac{{5\pi }}{2} - x} \right)\) \( + \tan \left( {\dfrac{{3\pi }}{2} + x} \right) + \cot \left( {x + 5\pi } \right)\)

b) (0,75 điểm) Rút gọn biểu thức

\(B = \dfrac{{\sin 3x\cos x + \sin 2x - \cos 3x\sin x}}{{2\cos x}}\)

Câu 18: (1,5 điểm)

Cho \(f\left( x \right) = \left( {{m^2} - 4} \right){x^2} + \left( {m - 2} \right)x + 1\).

Tìm các giá trị của m để bất phương trình \(f\left( x \right) < 0\) vô nghiệm.

Câu 19: (2,5 điểm)

Cho điểm A(1; 3) và đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm I có phương trình \({x^2} + {y^2} - 6x + 2y + 6 = 0\).

a) (1 điểm) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng AI.

b) (1 điểm) Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn \(\left( C \right)\) kẻ từ điểm A.

c) (0,5 điểm) Tìm tất cả các điểm \(J\) nằm trên đường thẳng \(x =  - 1\) sao cho ba điểm \(A,I,J\) tạo thành tam giác cân tại \(A\)

Câu 20: (0,5 điểm)

Cho hai số \(x,y\) thỏa mãn \(4{x^2} + {y^2} = 4\).

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của \(M = {x^2} - 3xy + 2{y^2}\).

Lời giải chi tiết

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

Thực hiện: Ban chuyên môn

PHẦN I: TRẮC NGHIỆM

Câu 1 (TH):

Phương pháp:

Sử dụng hai cung lượng giác hơn kém nhau \(k2\pi \) có cùng điểm cuối với nhau

Cách giải:

Ta thấy \(\dfrac{{13\pi }}{4} - \left( { - \dfrac{{3\pi }}{4}} \right) = \dfrac{{16\pi }}{4} = 4\pi \) \( = 2.2\pi \) nên hai cung có số đo \(\dfrac{{13\pi }}{4}\) và \( - \dfrac{{3\pi }}{4}\) có cùng điểm cuối.

Chọn B

Câu 2 (TH):

Phương pháp:

Sử dụng \({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1\)

Cách giải:

Ta có:

 \(\begin{array}{l}P = 3{\cos ^2}\alpha  + 4{\sin ^2}\alpha \\ = 3{\cos ^2}\alpha  + 3{\sin ^2}\alpha  + {\sin ^2}\alpha \\ = 3\left( {{{\cos }^2}\alpha  + {{\sin }^2}\alpha } \right) + {\sin ^2}\alpha \\ = 3.1 + {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^2} = \dfrac{{13}}{4}\end{array}\)

Chọn A

Câu 3 (TH):

Phương pháp:

Sử dụng mối quan hệ giữa các cung đặc biệt

\(\begin{array}{l}\cos \alpha  =  - \cos \left( {\pi  - \alpha } \right)\\\cot \alpha  = \tan \left( {\dfrac{\pi }{2} - \alpha } \right)\\\cos \alpha  =  - \cos \left( {\pi  + \alpha } \right)\\\cos \left( { - \alpha } \right) = \cos \alpha \end{array}\)

Cách giải:

Ta có \(\widehat A + \widehat B + \widehat C = \pi \) nên:

\(\cos \left( {A + B} \right) = \cos \left( {\pi  - C} \right)\) \( =  - \cos C\), do đó A đúng

\(\cot \dfrac{A}{2} = \tan \left( {\dfrac{\pi }{2} - \dfrac{A}{2}} \right)\) \( = \tan \left( {\dfrac{{A + B + C - A}}{2}} \right) = \tan \dfrac{{B + C}}{2}\) nên B đúng

\(\cos \left( {A + C} \right) = \cos \left( {\pi  - B} \right)\) \( =  - \cos B\) nên \(\cos \left( {A + C} \right) + \cos B = 0\), do đó C sai

\(\cos \left( {2A + B + C} \right)\) \( = \cos \left( {A + A + B + C} \right)\) \( = \cos \left( {\pi  + A} \right) =  - \cos A\) nên D đúng

Chọn C

Câu 4 (TH):

Phương pháp:

Đường thẳng đi qua \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) và có 1 VTPT \(\overrightarrow n  = \left( {a;b} \right)\) có phương trình: \(a\left( {x - {x_0}} \right) + b\left( {y - {y_0}} \right) = 0\)

Cách giải:

Đường thẳng \(d\) song song với \(\Delta :x - 5y - 2 = 0\) có dạng \(x - 5y + c = 0\) với \(c \ne  - 2\)

Lại có \(B \in d\) nên \(0 - 5.3 + c = 0 \Leftrightarrow c = 15\) (thỏa mãn)

Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là \(x - 5y + 15 = 0\)

Chọn D

Câu 5 (TH):

Phương pháp:

Giải hệ phương trình gồm 2 phương trình đường thẳng ta có tọa độ giao điểm cần tìm

Cách giải:

Tọa độ giao điểm \(\left( {x;y} \right)\) của \(\left( \Delta  \right)\) và \(\left( d \right)\) là nghiêm của hệ phương trình:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}2x + y - 3 = 0\\x = 3 + t\\y = t\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3 + t\\y = t\\2\left( {3 + t} \right) + t - 3 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3 + t\\y = t\\3t + 3 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t =  - 1\\x = 2\\y =  - 1\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy tọa độ giao điểm cần tìm là \(\left( {2; - 1} \right)\)

Chọn D

Câu 6 (TH):

Phương pháp:

Phương trình tiếp tuyến tại \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) của đường tròn tâm \(I\left( {a;b} \right)\) nhận \(\overrightarrow {IM}  = \left( {{x_0} - a;{y_0} - b} \right)\) làm VTPT là: \(\left( {{x_0} - a} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + \left( {{y_0} - b} \right)\left( {y - {y_0}} \right) = 0\)

Cách giải:

Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {1;2} \right)\)

Phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại \(M\left( {3;4} \right)\) là:

\(\left( {3 - 1} \right)\left( {x - 3} \right) + \left( {4 - 2} \right)\left( {y - 4} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow 2x + 2y - 14 = 0\) \( \Leftrightarrow x + y - 7 = 0\)

Chọn C

Câu 7 (TH):

Phương pháp:

Sử dụng: Elip \(\left( E \right):\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\left( {a > b > 0} \right)\)

Có \({c^2} = {a^2} - {b^2}\)

Tâm sai \(e = \dfrac{c}{a}\)

Tiêu cự có độ dài \(2c\)

Các đỉnh của \(\left( E \right)\) có tọa độ là \(\left( {a;0} \right),\left( { - a;0} \right),\) \(\left( {0;b} \right),\left( {0; - b} \right)\)

Cách giải:

Elip \(\left( E \right):\dfrac{{{x^2}}}{{25}} + \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1\) có \(a = 5;b = 3\) \( \Rightarrow c = \sqrt {{a^2} - {b^2}}  = 4\)

Nên tâm sai \(e = \dfrac{c}{a} = \dfrac{4}{5}\) , do đó A sai.

Chọn A

Câu 8 (TH):

Phương pháp:

Thay \(\alpha \) vào \(f\left( a \right)\) rồi giải bất phương trình thu được

Cách giải:

Ta có: \(a.f\left( \alpha  \right) < 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow a.\left( {a\alpha  + b} \right) < 0\\ \Leftrightarrow {a^2}\alpha  + ab < 0\\ \Leftrightarrow {a^2}\alpha  <  - ab\end{array}\)

\( \Leftrightarrow \alpha  <  - \dfrac{{ab}}{{{a^2}}}\) (vì \({a^2} > 0\) với \(a \ne 0\))

\( \Leftrightarrow \alpha  <  - \dfrac{b}{a}\)

Chọn D

Câu 9 (TH):

Phương pháp:

Hàm số \(y = ax + b\) đồng biến khi \(a > 0\)

Cách giải:

Hàm số \(y = \left( {2m - 1} \right)x + 1\) đồng biến khi \(2m - 1 > 0 \Leftrightarrow m > \dfrac{1}{2}\)

Chọn C

Câu 10 (TH):

Phương pháp:

Sử dụng quy tắc xét dấu tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)\) có hai nghiệm \({x_1} < {x_2}\)

Nếu \(a < 0\) thì \(f\left( x \right) < 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x < {x_1}\\x > {x_2}\end{array} \right.\)  và \(f\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow {x_1} < x < {x_2}\)

Cách giải:

Từ bảng xét dấu suy ra tam thức cần tìm có hệ số \(a < 0\)  và có hai nghiệm \(x =  - 3;x = 2\)

Vì \(a < 0\) nên ta loại B và D

Thay \(x = 2\) vào hai hàm số ở A và C ta thấy ở đáp án A có \(f\left( 2 \right) =  - {2^2} + 2 - 6\) \( =  - 8 \ne 0\) và đáp án C có \(f\left( 2 \right) =  - {2^2} - 2 + 6 = 0\), nên loại A, chọn C.

Chọn C

Câu 11 (TH):

Phương pháp:

Giải hai bất phương trình rồi lấy giao hai tập nghiệm

Cách giải:

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 4x + 3 < 0\\ - 6x + 12 > 0\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right) < 0\\ - 6x >  - 12\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 < x < 3\\x < 2\end{array} \right.\\ \Rightarrow 1 < x < 2\end{array}\)

Vậy hệ bất phương trình có tập nghiệm \(S = \left( {1;2} \right)\)

Chọn B

Câu 12 (TH):

Phương pháp:

Sử dụng: \({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1\) và \(\sin 2\alpha  = 2\sin \alpha \cos \alpha \)

Cách giải:

Ta có: \({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\sin ^2}\alpha  + {\left( { - \dfrac{5}{{13}}} \right)^2} = 1\\ \Leftrightarrow {\sin ^2}\alpha  = \dfrac{{144}}{{169}}\end{array}\)

\( \Rightarrow \sin \alpha  =  - \dfrac{{12}}{{13}}\) (do \(\pi  < \alpha  < \dfrac{{3\pi }}{2} \Rightarrow \sin \alpha  < 0\))

Khi đó \(\sin 2\alpha  = 2\sin \alpha \cos \alpha \) \( = 2.\dfrac{{ - 12}}{{13}}.\dfrac{{ - 5}}{{13}} = \dfrac{{120}}{{169}}\)

Chọn D

Câu 13 (NB):

Phương pháp:

Sử dụng các công thức:

\(\begin{array}{l}\sin \left( {a \pm b} \right) = \sin a\cos b \pm \cos a\sin b\\\cos \left( {a \pm b} \right) = \cos a\cos b \mp \sin a\sin b\end{array}\)

Cách giải:

Ta có \(\cos \left( {\alpha  - \beta } \right) = \cos \alpha \cos \beta  + \sin a\sin \beta \) nên A sai.

Chọn A

Câu 14 (VD):

Phương pháp:

Sử  dụng công thức \(\cos 2\alpha  = 2{\cos ^2}\alpha  - 1\)\( = 1 - 2{\sin ^2}\alpha \) và \(\sin 2\alpha  = 2\sin \alpha \cos \alpha \)

Cách giải:

Ta có:

\(A = \dfrac{{1 + \sin 2x + \cos 2x}}{{1 + \sin 2x - \cos 2x}}\) \( = \dfrac{{1 + \sin 2x + 2{{\cos }^2}x - 1}}{{1 + \sin 2x - \left( {1 - 2{{\sin }^2}x} \right)}}\)

\( = \dfrac{{2\sin x\cos  + 2{{\cos }^2}x}}{{2\sin x\cos x + 2{{\sin }^2}x}}\) \( = \dfrac{{2\cos x\left( {\sin x + \cos x} \right)}}{{2\sin x\left( {\cos x + \sin x} \right)}}\) \( = \dfrac{{\cos x}}{{\sin x}} = \cot x\)

Chọn C

Câu 15 (TH):

Phương pháp:

Sử dụng: Góc giữa \({\Delta _1}:{a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0\) và \({\Delta _2}:{a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0\) là \(\alpha \)

Ta có: \(\cos \alpha  = \dfrac{{\left| {{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2}} \right|}}{{\sqrt {a_1^2 + b_1^2} .\sqrt {a_2^2 + b_2^2} }}\)

Cách giải:

Gọi góc giữa hai đường thẳng \({\Delta _1};{\Delta _2}\) là \(\alpha \)

Ta có: \(\cos \alpha  = \dfrac{{\left| {1.1 + \left( { - 2} \right).3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {3^2}} }}\) \( = \dfrac{5}{{5\sqrt 2 }} = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\)

Suy ra \(\alpha  = {45^0}\) .

Chọn B

Câu 16 (NB):

Phương pháp:

Phương trình đường tròn tâm \(I\left( {a;b} \right)\) và bán kính \(R\) là \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2}\)

Cách giải:

Phương trình đường tròn tâm \(I\left( {1;3} \right)\) và bán kính bằng \(3\) là \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 9\)

\( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 2x - 6y + 1 = 0\)

Chọn B

PHẦN II: TỰ LUẬN (6 điểm)

Câu 17 (VD):

Phương pháp:

a) Sử dụng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt để rút gọn biểu thức.

b) Sử dụng công thức cộng và công thức nhân đôi:

\(\sin \left( {a - b} \right)\) \( = \sin a\cos b - \sin b\cos a\)

\(\sin 2a = 2\sin a\cos a\)

Cách giải:

a) (0,75 điểm) Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào \(x\).

\(A = \sin \left( {x + 3\pi } \right) + \cos \left( {\dfrac{{5\pi }}{2} - x} \right)\) \( + \tan \left( {\dfrac{{3\pi }}{2} + x} \right) + \cot \left( {x + 5\pi } \right)\)

Ta có:

\(\begin{array}{l} + )\,\sin \left( {x + 3\pi } \right)\\ = \sin \left( {x + \pi  + 2\pi } \right)\\ = \sin \left( {x + \pi } \right) =  - \sin x\\ + )\,\,\cos \left( {\dfrac{{5\pi }}{2} - x} \right)\\ = \cos \left( {2\pi  + \dfrac{\pi }{2} - x} \right)\\ = \cos \left( {\dfrac{\pi }{2} - x} \right) = \sin x\\ + )\,\tan \left( {\dfrac{{3\pi }}{2} + x} \right)\\ = \tan \left( {2\pi  - \dfrac{\pi }{2} + x} \right)\\ = \tan \left( { - \dfrac{\pi }{2} + x} \right)\\ = \tan \left[ { - \left( {\dfrac{\pi }{2} - x} \right)} \right]\\ =  - \tan \left( {\dfrac{\pi }{2} - x} \right) =  - \cot x\\ + )\,\cot \left( {x + 5\pi } \right) = \cot x\end{array}\)

\( \Rightarrow A =  - \sin x + \sin x - \cot x + \cot x\) \( = 0\)

b) (0,75 điểm) Rút gọn biểu thức

\(\begin{array}{l}B = \dfrac{{\sin 3x\cos x + \sin 2x - \cos 3x\sin x}}{{2\cos x}}\\ = \dfrac{{\left( {\sin 3x\cos x - \cos 3x\sin x} \right) + \sin 2x}}{{2\cos x}}\\ = \dfrac{{\sin \left( {3x - x} \right) + \sin 2x}}{{2\cos x}}\\ = \dfrac{{\sin 2x + \sin 2x}}{{2\cos x}}\\ = \dfrac{{2\sin 2x}}{{2\cos x}} = \dfrac{{\sin 2x}}{{\cos x}}\\ = \dfrac{{2\sin x\cos x}}{{\cos x}} = 2\sin x\end{array}\)

Câu 18 (VD):

Phương pháp:

Chia hai trường hợp \({m^2} - 4 = 0\) và \({m^2} - 4 \ne 0\).

BPT \(f\left( x \right) < 0\) vô nghiệm \( \Leftrightarrow f\left( x \right) \ge 0\) luôn đúng với mọi \(x \in \mathbb{R}\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta  \le 0\end{array} \right.\)

Cách giải:

Cho \(f\left( x \right) = \left( {{m^2} - 4} \right){x^2} + \left( {m - 2} \right)x + 1\).

Tìm các giá trị của m để bất phương trình \(f\left( x \right) < 0\) vô nghiệm.

TH1: \({m^2} - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 2\\m =  - 2\end{array} \right.\)

+) Nếu \(m = 2\) thì \(f\left( x \right) = 1 > 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\) nên bpt \(f\left( x \right) < 0\) vô nghiệm (thỏa mãn)

+) Nếu \(m =  - 2\) thì \(f\left( x \right) =  - 4x + 1\).

\(\begin{array}{l}f\left( x \right) < 0 \Leftrightarrow  - 4x + 1 < 0\\ \Leftrightarrow  - 4x <  - 1 \Leftrightarrow x > \dfrac{1}{4}\end{array}\)

Do đó bpt có nghiệm \(x > \dfrac{1}{4}\) (không thỏa mãn).

TH2: \({m^2} - 4 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne  \pm 2\)

Khi đó bpt \(f\left( x \right) < 0\) \( \Leftrightarrow f\left( x \right) \ge 0,\forall x \in \mathbb{R}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta  \le 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 4 > 0\\{\left( {m - 2} \right)^2} - 4\left( {{m^2} - 4} \right) \le 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > 2\\m <  - 2\end{array} \right.\\{m^2} - 4m + 4 - 4{m^2} + 16 \le 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > 2\\m <  - 2\end{array} \right.\\ - 3{m^2} - 4m + 20 \le 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > 2\\m <  - 2\end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l}m > 2\\m <  - \dfrac{{10}}{3}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 2\\m <  - \dfrac{{10}}{3}\end{array} \right.\end{array}\)

Kết hợp với \(m = 2\) ta được \(m \ge 2\) hoặc \(m <  - \dfrac{{10}}{3}\).

Câu 19 (VD):

Phương pháp:

a) Tìm tọa độ \(\overrightarrow {AI} \) suy ra tọa độ VTPT của AI.

Từ đó viết được phương trình đường thẳng đi qua A và I.

Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) và nhận \(\overrightarrow n  = \left( {a;b} \right)\) làm VTPT là:

\(a\left( {x - {x_0}} \right) + b\left( {y - {y_0}} \right) = 0\)

b) Gọi \(\overrightarrow n  = \left( {a;b} \right)\) là VTPT của tiếp tuyến \(\Delta \).

Viết dạng phương trình của \(\Delta \) đi qua điểm \(A\).

Sử dụng điều kiện \(\Delta \) là tiếp tuyến với \(\left( C \right)\) thì \(d\left( {I,\Delta } \right) = R\) để tìm mối quan hệ giữa a và b.

c) Gọi \(J\left( { - 1;m} \right)\) thuộc đường thẳng \(x =  - 1\).

Sử dụng điều kiện \(\Delta AIJ\) cân tại A thì \(AI = AJ\) tìm \(m\).

Kiểm tra lại điểm J tìm được có thỏa mãn bài toán hay không.

Cách giải:

Cho điểm A(1; 3) và đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm I có phương trình \({x^2} + {y^2} - 6x + 2y + 6 = 0\).

a) (1 điểm) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng AI.

Đường \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {3; - 1} \right)\).

Ta có: \(\overrightarrow {AI}  = \left( {2; - 4} \right)\) \( \Rightarrow \overrightarrow {{n_{AI}}}  = \left( {4;2} \right)\) là một VTPT của \(AI\).

Mà AI đi qua \(A\left( {1;3} \right)\) nên có phương trình tổng quát:

\(\begin{array}{l}4\left( {x - 1} \right) + 2\left( {y - 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 4x - 4 + 2y - 6 = 0\\ \Leftrightarrow 4x + 2y - 10 = 0\\ \Leftrightarrow 2x + y - 5 = 0\end{array}\)

Vậy \(AI:2x + y - 5 = 0\).

b) (1 điểm) Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn \(\left( C \right)\) kẻ từ điểm A.

Đường \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {3; - 1} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {{3^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} - 6}  = 2\).

Gọi \(\overrightarrow n  = \left( {a;b} \right)\) là VTPT của tiếp tuyến \(\Delta \).

\(\Delta \) đi qua \(A\left( {1;3} \right)\) nên phương trình \(\Delta \) có dạng:

\(\begin{array}{l}a\left( {x - 1} \right) + b\left( {y - 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow ax - a + by - 3b = 0\\ \Leftrightarrow ax + by - a - 3b = 0\end{array}\)

\(\Delta \) là tiếp tuyến với \(\left( C \right)\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow d\left( {I,\Delta } \right) = R\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {3a - b - a - 3b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = 2\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {2a - 4b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = 2\\ \Leftrightarrow \left| {2\left( {a - 2b} \right)} \right| = 2\sqrt {{a^2} + {b^2}} \\ \Leftrightarrow \left| {a - 2b} \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \\ \Leftrightarrow {\left( {a - 2b} \right)^2} = {a^2} + {b^2}\\ \Leftrightarrow {a^2} - 4ab + 4{b^2} = {a^2} + {b^2}\\ \Leftrightarrow  - 4ab + 3{b^2} = 0\\ \Leftrightarrow b\left( { - 4a + 3b} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = 0\\3b = 4a\end{array} \right.\end{array}\)

TH1: \(b = 0\), chọn \(a = 1\) ta được \(\Delta :x - 1 = 0\).

TH2: \(3b = 4a\), chọn \(a = 3,b = 4\) ta được \(\Delta :3x + 4y - 15 = 0\).

Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm là: \({\Delta _1}:x - 1 = 0\) và \({\Delta _2}:3x + 4y - 15 = 0\).

c) (0,5 điểm) Tìm tất cả các điểm \(J\) nằm trên đường thẳng \(x =  - 1\) sao cho ba điểm \(A,I,J\) tạo thành tam giác cân tại \(A\)

Gọi \(J\left( { - 1;m} \right)\) nằm trên đường thẳng \(x =  - 1\).

Ta có: \(AI = \sqrt {{{\left( {3 - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 1 - 3} \right)}^2}}  = 2\sqrt 5 \)

\(AJ = \sqrt {{{\left( { - 1 - 1} \right)}^2} + {{\left( {m - 3} \right)}^2}} \) \( = \sqrt {4 + {{\left( {m - 3} \right)}^2}} \)

Tam giác AIJ cân tại A

\(\begin{array}{l} \Rightarrow AI = AJ\\ \Leftrightarrow 2\sqrt 5  = \sqrt {4 + {{\left( {m - 3} \right)}^2}} \\ \Leftrightarrow 20 = 4 + {\left( {m - 3} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 16 = {\left( {m - 3} \right)^2}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m - 3 = 4\\m - 3 =  - 4\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 7\\m =  - 1\end{array} \right.\end{array}\)

Với \(m = 7\) ta được \(J\left( { - 1;7} \right)\).

Dễ thấy \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{{x_I} + {x_J}}}{2} = \dfrac{{3 + \left( { - 1} \right)}}{2} = 1 = {x_A}\\\dfrac{{{y_I} + {y_J}}}{2} = \dfrac{{ - 1 + 7}}{2} = 3 = {y_A}\end{array} \right.\) nên A là trung điểm của IJ (loại).

Với \(m =  - 1\) ta được \(J\left( { - 1; - 1} \right)\) (TM)

Vậy \(J\left( { - 1; - 1} \right)\).

Chú ý:

Một số em có thể sẽ quên kiểm tra lại điểm J và chọn cả hai điểm là sai.

Câu 20 (VDC):

Phương pháp:

 Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}x = \sin t\\y = 2\cos t\end{array} \right.\) thay vào M và tìm GTLN, GTNN của biểu thức.

Cách giải:

Cho hai số \(x,y\) thỏa mãn \(4{x^2} + {y^2} = 4\).

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của \(M = {x^2} - 3xy + 2{y^2}\).

Ta có: \(4{x^2} + {y^2} = 4\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}4{x^2} \le 4\\{y^2} \le 4\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} \le 1\\{y^2} \le 4\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 \le x \le 1\\ - 2 \le y \le 2\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l}4{x^2} + {y^2} = 4\\ \Leftrightarrow {x^2} + \dfrac{{{y^2}}}{4} = 1\\ \Leftrightarrow {x^2} + {\left( {\dfrac{y}{2}} \right)^2} = 1\end{array}\)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}x = \sin t\\\dfrac{y}{2} = \cos t\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \sin t\\y = 2\cos t\end{array} \right.\)

Ta có:

\(M = {x^2} - 3xy + 2{y^2}\)

\(\begin{array}{l} = {\left( {\sin t} \right)^2} - 3.\sin t.2\cos t + 2{\left( {2\cos t} \right)^2}\\ = {\sin ^2}t - 3\sin 2t + 8{\cos ^2}t\\ = \dfrac{{1 - \cos 2t}}{2} - 3\sin 2t + 8.\dfrac{{1 + \cos 2t}}{2}\\ = \dfrac{{1 - \cos 2t - 6\sin 2t + 8\left( {1 + \cos 2t} \right)}}{2}\\ = \dfrac{{1 - \cos 2t - 6\sin 2t + 8 + 8\cos 2t}}{2}\\ = \dfrac{{9 + 7\cos 2t - 6\sin 2t}}{2}\end{array}\)

Xét \(N = 7\cos 2t - 6\sin 2t\).

Áp dụng BĐT \({\left( {ax + by} \right)^2} \le \left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\) ta có:

\(\begin{array}{l}{N^2} = {\left( {7\cos 2t - 6\sin 2t} \right)^2}\\ \le \left( {{7^2} + {{\left( { - 6} \right)}^2}} \right)\left( {{{\cos }^2}2t + {{\sin }^2}2t} \right)\\ = 85.1 = 85\\ \Rightarrow {N^2} \le 85 \Rightarrow  - \sqrt {85}  \le N \le \sqrt {85} \end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 9 - \sqrt {85}  \le 9 + N \le 9 + \sqrt {85} \\ \Rightarrow \dfrac{{9 - \sqrt {85} }}{2} \le M \le \dfrac{{9 + \sqrt {85} }}{2}\end{array}\)

Do đó GTNN của \(M\) là \(\dfrac{{9 - \sqrt {85} }}{2}\) và GTLN của \(M\) là \(\dfrac{{9 + \sqrt {85} }}{2}\).