Giải đề thi học kì 2 toán lớp 10 năm 2019 - 2020 trường THPT Phú Lương - Thái Nguyên

Đề bài

Phần I. Trắc nghiệm (6 điểm)

Câu 1. Tìm điều kiện xác định của bất phương trình sau:\(\dfrac{{1 - x}}{{{x^2} + 1}} > \dfrac{1}{{x + 1}}\).

A.\(\forall x \in \mathbb{R}\)             B. \(x \ne  \pm 1\)

C. \(x \ne 1\)                D. \(x \ne  - 1\)

Câu 2. Bảng xét dấu sau là của nhị thức nào trong các nhị thức đã cho?

A.\(f(x) = 3x + 6\) 

B. \(f(x) = 4 - 2x\)

C. \(f(x) =  - 2x - 4\)

D. \(f(x) = 6 - 3x\)

Câu 3. Cho tam thức bậc hai \(f(x) = a{x^2} + bx + c,a \ne 0,\)\(\Delta  = {b^2} - 4ac\). Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Tam thức luôn cùng dấu với \(a\) khi \(\Delta  = 0\).

B. Tam thức luôn cùng dấu với \(a\)khi \(\Delta  < 0\).

C. Tam thức luôn cùng dấu với \(a\)khi \(\Delta  \le 0\).

D. Tam thức luôn cùng dấu với \(a\) khi \(\Delta  > 0\).

Câu 4.Trên đường tròn lượng giác điểm M biểu diễn cung \(\dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi ,k \in Z\). M ở góc phần tư nào ?

A. I.                             B. II.

C. III.                          D. IV.

Câu 5. Trong các công thức sau công thức nào sai?

A. \(\sin (a - b) = \sin a.\cos b - \cos a.\sin b\)

B. \(\sin (a + b) = \sin a.\cos b + \cos a.\sin b\)

C. \(\cos (a + b) = \cos a.\cos b + \sin a.\sin b\)

C. \(\cos (a - b) = \cos a.\cos b + \sin a.\sin b\)

Câu 6. Véc tơ nào sau đây là một véc tơ pháp tuyến của đường thẳng \(2x - y + 3 = 0\)?

A. \(\overrightarrow u ( - 2;1)\).                     B. \(\overrightarrow n (2;1)\)

C. \(\overrightarrow a (1; - 2)\)                       D. \(\overrightarrow b ( - 1;2)\)

Câu 7.  Đường thẳng \(\Delta \) có véc tơ chỉ phương \(\overrightarrow u (2; - 3)\). Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. \(m = \dfrac{{ - 2}}{3}\) là hệ số góc của \(\Delta \)

B. \(\overrightarrow b (3;2)\) là một véc tơ pháp tuyến của\(\Delta \)

C.\(m = \dfrac{3}{2}\) là hệ số góc của \(\Delta \)

D. \(\overrightarrow n (2;3)\) là một véc tơ pháp tuyến của \(\Delta \)

Câu 8. Trong các điểm sau, điểm nào  thuộc đường thẳng \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 - t\end{array} \right.\)

A. \(A(2;3)\)                B. \(B(3;1)\)

C. \(C(1; - 2)\)             D. \(A(0;3)\)

Câu 9. Tính khoảng cách từ điểm \(A( - 2;3)\) đến đường thẳng \(4x - 3y - 3 = 0\) ta được kết quả.

A. \(d = 2\)                  B. \(d = 4\)

C. \(d =  - 5\)               D. \(d = \dfrac{{20}}{{\sqrt {13} }}\)

Câu 10. Xác định tọa độ tâm I của đường tròn có phương trình: \({x^2} + {y^2} + 4x - 6y - 1 = 0\).

A. \(I( - 2;3)\)              B. \(I(4; - 6)\)

C. \(I(2; - 3)\)              D. \(I( - 4;6)\)

Câu 11. Tam thức bậc hai \(f(x) = {x^2} - 3x\) nhận giá trị âm trên khoảng nào?

A. \(( - \infty ;0)\)                    B. \(( - 1;3)\)

C. \((1;3)\)                   D. \((3; + \infty )\)

Câu 12. Tập nghiệm của bất phương trình  \(\dfrac{{x - 1}}{{3 - x}} \ge 0\)là.

A. \((1;3)\)                   B. \([1;3)\)

C. \([1;3]\)                   D.\((1;3]\)

 Câu 13. Tính\(\sin a\) biết \(\cos a =  - \dfrac{1}{3}\)và \(\dfrac{\pi }{2} < a < \pi \)

A. \(\sin a = \dfrac{{2\sqrt 2 }}{3}\)

B.  \(\sin a =  - \dfrac{{2\sqrt 2 }}{3}\)

C. \(\sin a =  - \dfrac{{\sqrt {10} }}{3}\)

D. \(\sin a = \dfrac{{\sqrt {10} }}{3}\)

Câu 14. Cho\(\tan a = 2\) tính giá trị \(A = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}a}} + \dfrac{{\cos a + \sin a}}{{\cos a - \sin a}} - 5\) 

A.  \(A = 5\)                B. \(A = 4\)

C. \(A =  - 3\)              D. \(A =  - 2\)

Câu 15. Biến tổng sau thành tích \(B = \sin a + \cos 2a - \sin 3a\) được kết quả

A. \(\cos 2a(1 - 2\cos a)\)  

B. \(\cos 2a(1 + 2\sin a)\)       

C. \( - \cos 2a(2\cos a + 1)\)

D. \(\cos 2a(1 - 2\sin a)\)

Câu 16.Phương trình tổng quát của đường thẳng\(\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 2 + t\end{array} \right.\) là:

A. \(x + y - 2 = 0\)

B. \(x - y + 2 = 0\)

C. \(x - y - 2 = 0\)

D. \(x + y + 2 = 0\)

Câu 17. Vị trí tương đối của hai đường thẳng \({\Delta _1}:2x + y + 3 = 0;\)\({\Delta _2}:x + 2y + 3 = 0\) là:

A. Vuông góc.

B. Cắt nhau nhưng không vuông góc.

C. Song song.

D.Trùng nhau .

Câu 18. Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng \({\Delta _1}:x - y + 3 = 0;\)\({\Delta _2}:3x + 4y + 3 = 0\)

A. \(\cos ({\Delta _1},{\Delta _2}) =  - \dfrac{{\sqrt 2 }}{{10}}\)

B. \(\cos ({\Delta _1},{\Delta _2}) =  - \dfrac{{\sqrt 5 }}{{10}}\)

C. \(\cos ({\Delta _1},{\Delta _2}) = \dfrac{{\sqrt 2 }}{{10}}\)

D. \(\cos ({\Delta _1},{\Delta _2}) = \dfrac{{\sqrt 5 }}{{10}}\)

Câu 19.Viết phương trình đường tròn tâm \(I(2; - 1)\) và tiếp xúc với đường thẳng \(\Delta :4x - 3y - 1 = 0\).

A. \({(x - 2)^2} + {(y + 1)^2} = 1\)

B. \({(x + 2)^2} + {(y - 1)^2} = 1\)   

C. \({(x - 2)^2} + {(y + 1)^2} = 2\)

D. \({(x - 2)^2} + {(y + 1)^2} = 4\)

Câu 20.Cho tam giác \(ABC\) mệnh đề nào sau đây sai?

A. \(\sin (A + B) =  - \sin C\)

B. \(\cos (A + B) =  - \cos C\)

C. \(\sin \dfrac{{A + B}}{2} = \cos \dfrac{C}{2}\)

D. \(\tan \dfrac{{A + B}}{2} = \cot \dfrac{C}{2}\)

Câu 21. Rút gọn biểu thức \(M = 2{\cos ^2}(\dfrac{\pi }{2} - \dfrac{a}{2}) + \sqrt 2 \sin (\dfrac{\pi }{4} + a) - 1\)

A. \(M = \sin a\)

B. \(M =  - \sin a\)

C. \(M = \cos a\)

D. \(M =  - \cos a\)

Câu 22. Đường thẳng nào sau đây đi qua điểm \(M(0;2)\) và vuông góc với đường thẳng \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - t\\y = 2 + t\end{array} \right.\).

A. \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - t\\y = 2 + t\end{array} \right.\)

B. \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - t\\y = t\end{array} \right.\)

C. \(\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 2 - t\end{array} \right.\)

D. \(\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 2 + t\end{array} \right.\)

Câu 23. Có bao nhiêu số nguyên \(m\) để tam thức \(f(x) =  - {x^2} + 2(m + 2)x + 9m - 4\) luôn âm trên \(\mathbb{R}\).

A.0                              B.13

C.12                            D. vô số

Câu 24. Tìm trên đường tròn \({(x - 3)^2} + {(y - 3)^2} = 9\) điểm M sao cho M cách đường thẳng \(y =  - 2\)khoảng lớn nhất.

A. \(M(0;3)\)                B. \(M(3;6)\)

C. \(M(1;\sqrt 5  + 3)\)            D. \(M(4;7)\)

Phần 2. Tự luận (4 điểm)

Bài 1. Giải bất phương trình: \(x + \sqrt {x - 1}  > \sqrt {x - 1}  - 2\)

Bài 2. Cho \(\sin a =  - \dfrac{2}{3}\). Tính \(9.\cos 2a\)

Bài 3. Cho hai điểm \(A(1;2),B(3;4)\).

a) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng qua A và vuông góc với AB

b) Viết phương trình đường tròn đường kính AB

Bài 4.Tìm \(m\)để phương trình  \(m{x^2} + 2(m - 1)x - 4 = 0\) có hai nghiệm phân biệt

Bài 5. Chứng minh rằng tam giác ABC vuông nếu: \(\cot \dfrac{B}{2} = \dfrac{{a + c}}{b}\)

Lời giải chi tiết

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

Thực hiện: Ban chuyên môn

 PHẦN TRẮC NGHIỆM

 Câu 1 (TH):

Phương pháp:

Sử dụng phân thức \(\dfrac{{A\left( x \right)}}{{B\left( x \right)}}\) xác định khi \(B\left( x \right) \ne 0\)

Cách giải:

Điều kiện xác định: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 1 \ne 0\\x + 1 \ne 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} \ne  - 1\left( {ld} \right)\\x \ne  - 1\end{array} \right.\) \( \Rightarrow x \ne  - 1\)

Chọn D

Câu 2 (TH):

Phương pháp:

Sử dụng qui tắc xét dấu của nhị thức \(f\left( x \right) = ax + b\) \(\left( {a \ne 0} \right)\)

+) \(a.f\left( x \right) > 0\) với \(x > \dfrac{{ - b}}{a}\)

+) \(a.f\left( x \right) < 0\) với \(x <  - \dfrac{b}{a}\)

Cách giải:

Từ bảng xét dấu ta thấy nhị thức \(f\left( x \right) = ax + b\) có nghiệm \(x =  - 2\) và có hệ số \(a < 0\) nên trong các đáp án chỉ có đáp án C với \(f\left( x \right) =  - 2x - 4\) thỏa mãn (vì có hệ số \(a =  - 2 < 0\) và \( - 2x - 4 = 0\) \( \Leftrightarrow x =  - 2\)).

Chọn C

Câu 3 (NB):

Phương pháp:

Sử dụng qui tắc xét dấu của tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\)  \(\left( {a \ne 0} \right)\)

Nếu \(\Delta  < 0\) thì \(a.f\left( x \right) > 0\)

Cách giải:

Tam thức luôn cùng dấu với \(a\)khi \(\Delta  < 0\) là khẳng định đúng.

Chọn B

Câu 4 (NB):

Phương pháp:

Với \(\dfrac{\pi }{2} < \alpha  < \pi \) thì điểm M biểu diễn cung \(\alpha  + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\) thuộc góc phần tư thứ hai

Cách giải:

Vì \(\dfrac{\pi }{2} < \dfrac{{5\pi }}{6} < \pi \) nên điểm M biểu diễn cung \(\dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi ,k \in Z\) thuộc góc phần tư thứ hai.

Chọn B

Câu 5 (NB):

Phương pháp:

Sử dụng các công thức lượng giác:

\(\begin{array}{l}\sin \left( {a \pm b} \right) = \sin a\cos b \pm \cos a\sin b\\\cos \left( {a \pm b} \right) = \cos a\cos b \mp \sin a\sin b\end{array}\)

Cách giải:

Ta có: \(\cos \left( {a + b} \right) = \cos a\cos b - \sin a\sin b\) nên C sai.

Chọn C

Câu 6 (NB):

Phương pháp:

Đường thẳng \(ax + by + c = 0\) có 1 VTPT là \(\overrightarrow n  = \left( {a;b} \right)\)

Cách giải:

Đường thẳng \(2x - y + 3 = 0\) có 1 VTPT là \(\overrightarrow n  = \left( {2; - 1} \right)\)

Suy ra \(\overrightarrow u  = \left( { - 2;1} \right)\) cũng là 1 VTPT của đường thẳng \(2x - y + 3 = 0\).

Chọn A

Câu 7 (TH):

Phương pháp:

Đường thẳng \(\Delta \) có VTCP là \(\overrightarrow u  = \left( {a;b} \right)\) \(\left( {a;b \ne 0} \right)\) thì có hệ số góc \(k = \dfrac{b}{a}\) và có VTPT \(\overrightarrow n  = \left( { - b;a} \right)\)

Cách giải:

Ta có: \(\overrightarrow u  = \left( {2; - 3} \right)\) là VTCP của \(\Delta \) nên đường thẳng \(\Delta \) có hệ số góc \(k =  - \dfrac{3}{2}\) và VTPT \(\overrightarrow n  = \left( {3;2} \right)\)

Chọn B

Câu 8 (TH):

Phương pháp:

Thay tọa độ từng điểm vào phương trình đường thẳng để chọn ra điểm thuộc đường thẳng đó.

Cách giải:

+) Với \(A\left( {2;3} \right)\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}2 = 1 + t\\3 = 2 - t\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 1\\t =  - 1\end{array} \right.\) (vô lý) nên loại A

+) Với \(B\left( {3;1} \right)\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}3 = 1 + t\\1 = 2 - t\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 2\\t = 1\end{array} \right.\) (vô lý) nên loại B

+) Với \(C\left( {1; - 2} \right)\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}1 = 1 + t\\ - 2 = 2 - t\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 0\\t = 4\end{array} \right.\) (vô lý) nên loại C

+) Với \(A\left( {0;3} \right)\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}0 = 1 + t\\3 = 2 - t\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t =  - 1\\t =  - 1\end{array} \right.\) (thỏa mãn) nên \(A\left( {0;3} \right)\) thuộc đường thẳng đã cho

Chọn D

Câu 9 (TH):

Phương pháp:

Sử dụng công thức tính khoảng cách từ \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) đến đường thẳng \(\Delta :ax + by + c = 0\) là:

\(d\left( {M;\Delta } \right) = \dfrac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)

Cách giải:

Gọi đường thẳng \(\Delta :4x - 3y - 3 = 0\)

Khoảng cách cần tìm là: \(d\left( {A;\Delta } \right) = \dfrac{{\left| {4.\left( { - 2} \right) - 3.3 - 3} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }} = 4\)

Chọn B

Câu 10 (TH):

Phương pháp:

Đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0\) có tâm \(I\left( {a;b} \right)\)  

Cách giải:

Tâm \(I\) của đường tròn có phương trình: \({x^2} + {y^2} + 4x - 6y - 1 = 0\) là \(I\left( {\dfrac{4}{{ - 2}};\dfrac{{ - 6}}{{ - 2}}} \right)\)  hay \(I\left( { - 2;3} \right)\)

Chọn A

Câu 11 (TH):

Phương pháp:

Sử dụng định lý dấu của tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\) có hai nghiệm \({x_1} < {x_2}\)

Nếu \({x_1} < x < {x_2}\) thì \(a.f\left( x \right) < 0\)

Nếu \(\left[ \begin{array}{l}x < {x_1}\\x > {x_2}\end{array} \right.\)  thì \(a.f\left( x \right) > 0\) 

Cách giải:

Đa thức \(f\left( x \right) = {x^2} - 3x\) có hai nghiệm \(x = 0;x = 3\)

Ta có bảng xét dấu:

 

Từ bảng xét dấu ta có \(f\left( x \right) < 0 \Leftrightarrow 0 < x < 3\)

Như vậy tam thức đã cho có giá trị âm trên khoảng \(\left( {0;3} \right)\) nên nó có giá trị âm trên \(\left( {1;3} \right)\)

Chọn C

Câu 12 (TH):

Phương pháp:

Sử dụng \(\dfrac{{A\left( x \right)}}{{B\left( x \right)}} \ge 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}A\left( x \right) \ge 0\\B\left( x \right) > 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}A\left( x \right) \le 0\\B\left( x \right) < 0\end{array} \right.\end{array} \right.\)

Cách giải:

Ta có: \(\dfrac{{x - 1}}{{3 - x}} \ge 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ge 0\\3 - x > 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x - 1 \le 0\\3 - x < 0\end{array} \right.\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\x < 3\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x \le 1\\x > 3\end{array} \right.\left( {VN} \right)\end{array} \right.\\ \Rightarrow 1 \le x < 3\end{array}\)

Vậy bất phương trình có tập nghiệm \(S = \left[ {1;3} \right)\)

Chọn B

Câu 13 (TH):

Phương pháp:

Sử dụng \({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1\)

Cách giải:

Ta có: \({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\sin ^2}\alpha  + {\left( { - \dfrac{1}{3}} \right)^2} = 1\\ \Leftrightarrow {\sin ^2}\alpha  = \dfrac{8}{9}\end{array}\)

\( \Rightarrow \sin \alpha  = \dfrac{{2\sqrt 2 }}{3}\)  (do \(\dfrac{\pi }{2} < a < \pi \))

Chọn A

Câu 14 (TH):

Phương pháp:

Sử dụng công thức \(1 + {\tan ^2}\alpha  = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\)

Cách giải:

Vì \(\tan \alpha  = 2 \Rightarrow \cos \alpha  \ne 0\), ta có:

\(A = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}a}} + \dfrac{{\cos a + \sin a}}{{\cos a - \sin a}} - 5\)

\( = 1 + {\tan ^2}\alpha  + \dfrac{{\dfrac{{\cos \alpha }}{{\cos \alpha }} + \dfrac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}}}{{\dfrac{{\cos \alpha }}{{\cos \alpha }} - \dfrac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}}} - 5\)

\( = 1 + {\tan ^2}\alpha  + \dfrac{{1 + \tan \alpha }}{{1 - \tan \alpha }} - 5\)

\( = 1 + {2^2} + \dfrac{{1 + 2}}{{1 - 2}} - 5 =  - 3\)

Chọn C

Câu 14 (TH):

Phương pháp:

Sử dụng công thức \(\sin a - \sin b = 2\cos \dfrac{{a + b}}{2}\sin \dfrac{{a - b}}{2}\)

Cách giải:

Ta có:

\(B = \sin a + \cos 2a - \sin 3a\)

\(\begin{array}{l} = \left( {\sin a - \sin 3a} \right) + \cos 2a\\ = 2\cos \dfrac{{a + 3a}}{2}.\sin \dfrac{{a - 3a}}{2} + \cos 2a\\ = 2\cos 2a.\sin \left( { - a} \right) + \cos 2a\\ =  - 2\cos 2a\sin a + \cos 2a\\ = \cos 2a\left( {1 - 2\sin a} \right)\end{array}\)

Chọn D

Câu 16 (TH):

Phương pháp:

Rút \(t\) theo \(x;y\), từ đó suy ra phương trình tổng quát

Cách giải:

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 2 + t\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = x\\t = y - 2\end{array} \right.\)\( \Rightarrow x = y - 2 \Leftrightarrow x - y + 2 = 0\)

Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng đã cho là \(x - y + 2 = 0\)

Chọn B

Câu 17 (TH):

Phương pháp:

Sử dụng: Đường thẳng \(\Delta :ax + by + c = 0\) và đường thẳng \({\Delta _1}:a'x + b'y + c = 0\) cắt nhau \( \Leftrightarrow \dfrac{a}{{a'}} \ne \dfrac{b}{{b'}}\left( {a';b' \ne 0} \right)\)

Cách giải:

Đường thẳng \({\Delta _1}\) có VTPT \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {2;1} \right)\)

Đường thẳng \({\Delta _2}\) có VTPT \(\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {1;2} \right)\)

Vì \(\dfrac{2}{1} \ne \dfrac{1}{2}\) nên \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) cắt nhau.

Lại có \(\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} \) \( = 2.1 + 1.2 = 4 \ne 0\) nên \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) không vuông góc.

Chọn B

Câu 18 (TH):

Phương pháp:

Góc giữa đường thẳng \(\Delta :ax + by + c = 0\) và đường thẳng \({\Delta _1}:a'x + b'y + c = 0\) là \(\alpha \) thỏa mãn \(\cos \alpha  = \dfrac{{\left| {a.a' + b.b'} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} .\sqrt {a{'^2}}  + b{'^2}}}\)

Cách giải:

Gọi góc giữa hai đường thẳng \({\Delta _1};{\Delta _2}\) là \(\alpha \), ta có:

\(\cos \alpha  = \dfrac{{\left| {1.3 + \left( { - 1} \right).4} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{3^2} + {4^2}} }}\) \( = \dfrac{1}{{5\sqrt 2 }} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{{10}}\)

Chọn C

Câu 19 (TH):

Phương pháp:

Đường tròn tâm \(I\left( {a;b} \right)\) và bán kính \(R\) có phương trình \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2}\)

Cách giải:

Bán kính đường tròn là \(R = d\left( {I;\Delta } \right)\)\( = \dfrac{{\left| {4.2 - 3.\left( { - 1} \right) - 1} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }} = 2\)

Phương trình đường tròn tâm \(I\left( {2; - 1} \right)\) và bán kính \(R = 2\) là: \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 4\)

Chọn D

Câu 20 (TH):

Phương pháp:

Sử dụng: \(\sin \left( {\pi  - \alpha } \right) = \sin \alpha \) , \(\cos \left( {\pi  - \alpha } \right) =  - \cos \alpha \)

\(\sin \left( {\dfrac{\pi }{2} - \alpha } \right) = \cos \alpha ,\) \(\tan \left( {\dfrac{\pi }{2} - \alpha } \right) = \cot \alpha \)

Cách giải:

Ta có: \(\widehat A + \widehat B + \widehat C = \pi \) (tổng ba góc trong tam giác)

+) \(\sin \left( {A + B} \right)\) \( = \sin \left( {\pi  - C} \right) = \sin C\) nên A sai

+) \(\cos \left( {A + B} \right) = \cos \left( {\pi  - C} \right)\) \( =  - \cos C\) nên B đúng

+) \(\sin \left( {\dfrac{{A + B}}{2}} \right)\) \( = \cos \left( {\dfrac{\pi }{2} - \dfrac{{A + B}}{2}} \right) = \cos \dfrac{C}{2}\) nên C đúng

+) \(\tan \dfrac{{A + B}}{2}\) \( = \cot \left( {\dfrac{\pi }{2} - \dfrac{{A + B}}{2}} \right) = \cot \dfrac{C}{2}\) nên D đúng

Chọn A

Câu 21 (TH):

Phương pháp:

Sử dụng \({\cos ^2}\alpha  = \dfrac{{1 + \cos 2\alpha }}{2}\) và \(\sin \left( {a + b} \right) = \sin a\cos b + \cos a\sin b\)

Cách giải:

Ta có:

\(M = 2{\cos ^2}(\dfrac{\pi }{2} - \dfrac{a}{2}) + \sqrt 2 \sin (\dfrac{\pi }{4} + a) - 1\)

\( = 2.\dfrac{{1 + \cos \left( {\pi  - a} \right)}}{2}\) \( + \sqrt 2 \left( {\sin a\cos \dfrac{\pi }{4} + \cos a\sin \dfrac{\pi }{4}} \right) - 1\)

\( = 1 + \cos \left( {\pi  - a} \right)\) \( + \sqrt 2 .\left( {\sin a.\dfrac{1}{{\sqrt 2 }} + \cos a.\dfrac{1}{{\sqrt 2 }}} \right) - 1\)

\( =  - \cos a + \sin a + \cos a\) \( = \sin a\)

Chọn A

Câu 22 (TH):

Phương pháp:

Đường thẳng đi qua \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) và có VTCP \(\overrightarrow u  = \left( {a;b} \right)\) có phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\end{array} \right.\)  

Cách giải:

Gọi đường thẳng cần tìm là \(d\)

Vì \(d \bot \Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - t\\y = 2 + t\end{array} \right.\)  nên \(d\) nhận \(\overrightarrow {{u_\Delta }}  = \left( { - 1;1} \right)\) làm VTPT

Suy ra \(\overrightarrow {{u_d}}  = \left( {1;1} \right)\) là 1 VTCP của \(d\)

Phương trình đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 2 + t\end{array} \right.\)

Chọn D

Câu 23 (VD):

Phương pháp:

Sử dụng: Tam thức \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c < 0\) với \(\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a < 0\\\Delta ' < 0\end{array} \right.\)  

Cách giải:

Ta có: \(f(x) =  - {x^2} + 2(m + 2)x + 9m - 4 < 0\) \(\forall x \in \mathbb{R}\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a < 0\\\Delta ' < 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 < 0\left( {ld} \right)\\{\left( {m + 2} \right)^2} + 9m - 4 < 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow {m^2} + 13m < 0\) \( \Leftrightarrow  - 13 < m < 0\)

Mà \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ { - 12; - 11;...; - 1} \right\}\)  nên có 12 giá trị của m thỏa mãn đề bài.

Chọn C

Câu 24 (VD):

Phương pháp:

Sử dụng công thức tính khoảng cách từ \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) đến đường thẳng \(\Delta :ax + by + c = 0\) là:

\(d\left( {M;\Delta } \right) = \dfrac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)

Và vẽ hình, lập luận giá trị lớn nhất của khoảng cách.

Cách giải:

Đường tròn \(\left( C \right):{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 9\) có tâm \(I\left( {3;3} \right)\) và bán kính \(R = 3.\)

Đường thẳng \(\Delta :y =  - 2 \Leftrightarrow y + 2 = 0\)

Xét \(d\left( {I;\Delta } \right) = \dfrac{{\left| {3 + 2} \right|}}{{\sqrt 1 }} = 5 > 3\) nên đường thẳng \(\Delta \) không cắt đường tròn \(\left( C \right)\)

 

Khi đó khoảng cách lớn nhất từ \(M \in \left( C \right)\) đến đường thẳng \(\Delta \) là \(MH\) với \(M\) là giao điểm của đường thẳng \(d\) đi qua \(I\) và vuông góc với \(\Delta \) với đường tròn \(\left( C \right)\) .

Đường thẳng \(d \bot \Delta \) nên có VTCP \(\overrightarrow u  = \left( {0;1} \right)\), suy ra \(\overrightarrow n  = \left( {1;0} \right)\) là 1 VTPT của \(d\)

Phương trình đường thẳng \(d\): \(x - 3 = 0\) \( \Leftrightarrow x = 3\)

Tọa độ giao điểm của d và \(\left( C \right)\) thỏa mãn hệ:

\(\left\{ \begin{array}{l}x = 3\\{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 9\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\{\left( {y - 3} \right)^2} = 9\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 6\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array}\)

Suy ra \({M_1}\left( {3;0} \right),{M_2}\left( {3;6} \right)\)

Ta có \(d\left( {{M_1};\Delta } \right) = \dfrac{{\left| 2 \right|}}{1} = 2\) và \(d\left( {{M_2};\Delta } \right) = \dfrac{{\left| {6 + 2} \right|}}{1} = 8\)

Nên khoảng cách lớn nhất là \(8 \Leftrightarrow M \equiv {M_2}\left( {3;6} \right)\)

Chọn B

PHẦN TỰ LUẬN

Bài 1 (TH):

Phương pháp:

Tìm điều kiện xác định rồi chuyển vế đổi dấu để giải bất phương trình

Cách giải:

Giải bất phương trình: \(x + \sqrt {x - 1}  > \sqrt {x - 1}  - 2\)

Điều kiện: \(x \ge 1\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}x + \sqrt {x - 1}  > \sqrt {x - 1}  - 2\\ \Leftrightarrow x >  - 2\end{array}\)

Kết hợp điều kiện ta có \(x \ge 1\)

Bất phương trình có tập nghiệm \(S = \left[ {1; + \infty } \right)\)

Bài 2 (TH):

Phương pháp:

Sử dụng công thức \(\cos 2a = 1 - 2{\sin ^2}a\)

Cách giải:

Cho \(\sin a =  - \dfrac{2}{3}\). Tính \(9.\cos 2a\)

Ta có: \(9.\cos 2a = 9.\left( {1 - 2{{\sin }^2}a} \right)\) \( = 9 - 18{\sin ^2}a\) \( = 9 - 18.{\left( { - \dfrac{2}{3}} \right)^2}\) \( = 1\)

Bài 3 (VD):

Phương pháp:

a) Đường thẳng đi qua \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) và có VTPT \(\overrightarrow n  = \left( {a;b} \right)\) có phương trình \(a\left( {x - {x_0}} \right) + b\left( {y - {y_0}} \right) = 0\)

b) Đường tròn tâm \(I\left( {a;b} \right)\) và bán kính \(R\) có phương trình \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2}\)

Cách giải:

Cho hai điểm \(A(1;2),B(3;4)\).

a) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng qua A và vuông góc với AB

Ta có:  \(\overrightarrow {AB}  = \left( {2;2} \right)\)

Đường thẳng đi qua A và vuông góc với AB nên nhận \(\overrightarrow {AB}  = \left( {2;2} \right)\) làm VTPT

Phương trình đường thẳng cần tìm là: \(2\left( {x - 1} \right) + 2\left( {y - 2} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow 2x - 2y - 6 = 0\)

\( \Leftrightarrow x - y - 3 = 0\)

b) Viết phương trình đường tròn đường kính AB

Ta có: \(AB = \sqrt {{2^2} + {2^2}}  = 2\sqrt 2 \) và trung điểm của \(AB\) là \(I\left( {\dfrac{{1 + 3}}{2};\dfrac{{2 + 4}}{2}} \right)\) hay \(I\left( {2;3} \right)\)

Đường tròn có đường kính \(AB\) nên có bán kính \(R = \dfrac{{AB}}{2} = \sqrt 2 \) và có tâm là trung điểm \(I\left( {2;3} \right)\) của đoạn \(AB.\)

Phương trình đường tròn là: \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 2\)

Bài 4 (VD):

Phương pháp:

Phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\) có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta ' > 0\end{array} \right.\)

Cách giải:

Tìm \(m\)để phương trình  \(m{x^2} + 2(m - 1)x - 4 = 0\) có hai nghiệm phân biệt

Phương trình \(m{x^2} + 2(m - 1)x - 4 = 0\) có hai nghiệm phân biệt khi:

\(\left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\\Delta ' = {\left( {m - 1} \right)^2} + 4m > 0\end{array} \right.\)

 \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\{m^2} - 2m + 1 + 4m > 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\{m^2} + 2m + 1 > 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\{\left( {m + 1} \right)^2} > 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\m \ne  - 1\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy với \(m \ne 0\) và \(m \ne  - 1\) thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt

Bài 5 (VDC):

Phương pháp:

Sử dụng định lý hàm số sin cho tam giác \(ABC\) : \(\dfrac{{AB}}{{\sin C}} = \dfrac{{AC}}{{\sin B}} = \dfrac{{BC}}{{\sin A}} = 2R\)

Cách giải:

Chứng minh rằng tam giác ABC vuông  nếu: \(\cot \dfrac{B}{2} = \dfrac{{a + c}}{b}\)

Áp dụng định lý hàm số sin ta có:\(\dfrac{a}{{\sin A}} = \dfrac{b}{{\sin B}}\)\( = \dfrac{c}{{\sin C}} = 2R\) với \(R\) là bán kính đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2R\sin A\\b = 2R\sin B\\c = 2R\sin C\end{array} \right.\)

Khi đó: \(\cot \dfrac{B}{2} = \dfrac{{a + c}}{b}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{{\cos \dfrac{B}{2}}}{{\sin \dfrac{B}{2}}} = \dfrac{{2R\sin A + 2R\sin C}}{{2R\sin B}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\cos \dfrac{B}{2}}}{{\sin \dfrac{B}{2}}} = \dfrac{{\sin A + \sin C}}{{\sin B}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\sin B.\cos \dfrac{B}{2}}}{{\sin \dfrac{B}{2}}} = \sin A + \sin C\end{array}\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{2\sin \dfrac{B}{2}.\cos \dfrac{B}{2}.\cos \dfrac{B}{2}}}{{\sin \dfrac{B}{2}}}\) \( = \sin A + \sin C\)

\( \Leftrightarrow 2{\cos ^2}\dfrac{B}{2} = 2\sin \dfrac{{A + C}}{2}\cos \dfrac{{A - C}}{2}\)

\( \Leftrightarrow {\cos ^2}\dfrac{B}{2} = \cos \dfrac{B}{2}\cos \dfrac{{A - C}}{2}\) (vì \(\dfrac{{A + C}}{2} + \dfrac{B}{2} = \dfrac{\pi }{2}\) nên \(\sin \dfrac{{A + C}}{2} = \cos \dfrac{B}{2}\))

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \cos \dfrac{B}{2} = \cos \dfrac{{A - C}}{2}\\ \Rightarrow \dfrac{B}{2} = \dfrac{{A - C}}{2}\\ \Leftrightarrow B = A - C\\ \Leftrightarrow B + C = A\end{array}\)

Mà \(A + B + C = {180^0}\) (tổng ba góc trong tam giác)

Nên \(\widehat A = {90^0}\) hay \(\Delta ABC\) vuông tại A.