Giải bài tập 6 trang 86 SGK Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Đề bài

Thời gian hoàn thành một bài viết chính tả của một số học sinh lớp 4 hai trường X và Y được ghi lại ở bảng sau:

a) Nếu so sánh theo số trung bình thì học sinh trường nào viết nhanh hơn?
b) Nếu so sánh theo khoảng tứ phân vị thì học sinh trường nào có tốc độ viết đồng đều hơn?
c) Nếu so sánh theo độ lệch chuẩn thì học sinh trường nào có tốc độ viết đồng đều hơn?

Lời giải chi tiết

a) Cỡ mẫu: n = 50

Xét số liệu của trường X:

Số trung bình: \(\overline {{x_X}}  = \frac{{8.6,5 + 10.7,5 + 13.8,5 + 10.9,5 + 9.10,5}}{{50}} = 8,54\)

Xét số liệu của trường Y:

Số trung bình: \(\overline {{x_Y}}  = \frac{{4.6,5 + 12.7,5 + 17.8,5 + 14.9,5 + 3.10,5}}{{50}} = 8,5\)

Vậy nếu so sánh theo số trung bình thì học sinh trường Y viết nhanh hơn

b) Gọi \({x_1};{\rm{ }}{x_2}; \ldots ;{\rm{ }}{x_{50}}\) là mẫu số liệu gốc về thời gian hoàn thành một bài viết chính tả của 50 học sinh lớp 4 trường X được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có: \({x_1}; \ldots ;{\rm{ }}{x_8} \in [6;7)\); \({x_9}; \ldots ;{\rm{ }}{x_{18}} \in [7;8)\);\({x_{19}}; \ldots ;{\rm{ }}{x_{31}} \in [8;9)\);\({x_{32}}; \ldots ;{\rm{ }}{x_{41}} \in [9;10)\);\({x_{42}}; \ldots ;{\rm{ }}{x_{50}} \in [10;11)\)

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là \({x_{13}} \in [7;8)\). Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_1} = 7 + \frac{{\frac{{50}}{4} - 8}}{{10}}(8 - 7) = 7,45\)

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là \({x_{38}} \in [9;10)\). Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_3} = 9 + \frac{{\frac{{3.50}}{4} - (8 + 10 + 13)}}{{10}}(10 - 9) = 9,65\)

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = 2,2\)

Gọi \({y_1};{\rm{ }}{y_2}; \ldots ;{\rm{ }}{y_{50}}\) là mẫu số liệu gốc về thời gian hoàn thành một bài viết chính tả của 50 học sinh lớp 4 trường Y được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có: \({y_1}; \ldots ;{\rm{ }}{y_4} \in [6;7)\); \({y_5}; \ldots ;{\rm{ }}{y_{16}} \in [7;8)\);\({y_{17}}; \ldots ;{\rm{ }}{y_{33}} \in [8;9)\);\({y_{34}};...;{y_{47}} \in [9;10)\);\({y_{48}};...;{y_{50}} \in [10;11)\)

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là \({y_{13}} \in [7;8)\). Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_1}' = 7 + \frac{{\frac{{50}}{4} - 4}}{{12}}(8 - 7) = \frac{{185}}{{24}}\)

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là \({y_{38}} \in [9;10)\). Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_3}' = 9 + \frac{{\frac{{3.50}}{4} - (4 + 12 + 17)}}{{14}}(10 - 9) = \frac{{261}}{{28}}\)

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({\Delta _Q}' = {Q_3}' - {Q_1}' = \frac{{271}}{{168}}\)

Vậy nếu so sánh theo khoảng tứ phân vị thì học sinh trường Y có tốc độ viết đồng đều hơn

c) Xét số liệu của trường X:

Độ lệch chuẩn: \({\sigma _Y} = \sqrt {\frac{{8.6,{5^2} + 10.7,{5^2} + 13.8,{5^2} + 10.9,{5^2} + 9.10,{5^2}}}{{50}} - 8,{{54}^2}}  \approx 1,33\)

Xét số liệu của trường Y:

Độ lệch chuẩn: \({\sigma _Y} = \sqrt {\frac{{4.6,{5^2} + 12.7,{5^2} + 17.8,{5^2} + 14.9,{5^2} + 3.10,{5^2}}}{{50}} - 8,{5^2}}  \approx 1,04\)

Vậy nếu so sánh theo độ lệch chuẩn thì học sinh trường Y có tốc độ viết đồng đều hơn