Giải bài tập 5.19 trang 98 SGK Toán 9 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho tam giác đều ABC có AB = \({\rm{2}}\sqrt 3 \)cm. Nửa đường tròn đường kính BC cắt hai cạnh AB và AC lần lượt tại D và E (khác B và C) (H.5.24).

a) Chứng tỏ rằng ba cung nhỏ BD, DE và EC bằng nhau. Tính số đo mỗi cung ấy.

b) Tính diện tích của hình viên phân (xem ví dụ 2) giới hạn bởi dây BD và cung nhỏ BD.

Lời giải chi tiết

a) Gọi O là trung điểm của BC

Vì OB = OD nên tam giác OBD là tam giác cân

Mà \(\widehat {{\rm{OBD}}} = 60^\circ \)(do tam giác ABC đều)

Suy ra tam giác OBD đều.

Do đó: \(\widehat {{\rm{BOD}}} = 60^\circ \)

Tương tự ta có: \(\widehat {{\rm{COE}}} = 60^\circ \)

Lại có: \(\widehat {{\rm{BOD}}} + \widehat {{\rm{DOE}}} + \widehat {{\rm{COE}}} = 180^\circ  \Rightarrow \widehat {{\rm{DOE}}} = 60^\circ \)

Khi đó: \(\widehat {{\rm{BOD}}} = \widehat {{\rm{COE}}} = \widehat {{\rm{DOE}}} = 60^\circ \)

Hay sđ\(\overset\frown{BD}=\) sđ\(\overset\frown{CE}=\) sđ\(\overset\frown{DE}=60{}^\circ \)

b) Đường tròn (O) có bán kính \(OA = \frac{{AB}}{2} = \frac{{{\rm{2}}\sqrt 3 }}{2} = \sqrt 3 \)(cm)

Diện tích hình viên phân giới hạn bởi dây BD và cung nhỏ BD là:

\(S = {R^2}\left( {\frac{\pi }{4} - \frac{1}{2}} \right) = {\left( {\sqrt 3 } \right)^2}.\left( {\frac{\pi }{4} - \frac{1}{2}} \right) = \frac{{3\pi }}{4} - \frac{3}{2}\left( {c{m^2}} \right)\)