Bài 1.5 phần bài tập bổ sung trang 15 SBT toán 8 tập 1

Tính giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của các biểu thức sau:

LG a

\(\) \(A = 2{x^2} - 8x - 10\)

Phương pháp giải:

Sử dụng hằng đẳng thức để đánh giá các biểu thức đã cho.

\(\) \( (A-B)^2+m \ge m\) với mọi \(A,\,B.\) Dấu \("="\) xảy ra khi \(A=B\).

Lời giải chi tiết:

\(\)  \( A= 2{x^2} - 8x – 10\)

\( = 2\left( {{x^2} - 4x + 4} \right) - 18 \)

\(= 2{\left( {x - 2} \right)^2} - 18\)

Vì \(2{\left( {x - 2} \right)^2} \ge 0 \) với mọi \(x\)

\(\Rightarrow 2{\left( {x - 2} \right)^2} - 18 \ge  - 18\)

Hay \(A\ge  - 18\)

Do đó giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A\) bằng \(-18\) tại \(x-2=0 \Rightarrow x= 2\)

LG b

\(\) \( B = 9x - 3{x^2}\) 

Phương pháp giải:

Sử dụng hằng đẳng thức để đánh giá các biểu thức đã cho.

\(\) \(m-(A-B)^2 \le m\) với mọi \(A,\,B.\) Dấu \("="\) xảy ra khi \(A=B\).

Lời giải chi tiết:

 \(\)  \(B = 9x - 3{x^2}\)

\( = 3\left( {3x - {x^2}} \right)\)

\(=\displaystyle 3\left( {{9 \over 4} - {9 \over 4} + 2.{3 \over 2}x - {x^2}} \right)\)

\( = \displaystyle 3\left[ {{9 \over 4} - \left( {{9 \over 4} - .{3 \over 2}x + {x^2}} \right)} \right] \)

\(=\displaystyle 3\left[ {{9 \over 4} - {{\left( {{3 \over 2} - x} \right)}^2}} \right] \)

\(=\displaystyle {{27} \over 4} - 3{\left( {{3 \over 2} - x} \right)^2}\)

Vì \(\displaystyle{\left( {{3 \over 2} - x} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(x\)

\(\displaystyle \Rightarrow  3{\left( {{3 \over 2} - x} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(x\)

\(\Rightarrow B =\displaystyle {{27} \over 4} - 3{\left( {{3 \over 2} - x} \right)^2} \le {{27} \over 4}\)

Do đó giá trị lớn nhất của \(B\) bằng \(\displaystyle{{27} \over 4}\) tại \(\displaystyle {3 \over 2} - x=0\Rightarrow x = \displaystyle{3 \over 2}\)