Bài 59 trang 14 SBT toán 8 tập 1

Tìm giá trị lớn nhất (hoặc nhỏ nhất) của các biểu thức sau:

LG a

\(\) \(A= {x^2} - 6x + 11\)

Phương pháp giải:

Sử dụng hằng đẳng thức để đánh giá các biểu thức đã cho.

\(\) \( (A-B)^2+m \ge m\) với mọi \(A,\,B.\) Dấu \("="\) xảy ra khi \(A=B\).

Lời giải chi tiết:

\(\) \(A = {x^2} - 6x + 11\) \( = {x^2} - 2.3x + 9 + 2 \)

\(= {\left( {x - 3} \right)^2} + 2\) 

Ta có: \({\left( {x - 3} \right)^2} \ge 0 \Rightarrow {\left( {x - 3} \right)^2} + 2 \ge 2\)

\( \Rightarrow A \ge 2\). Vậy \(A = 2\) là giá trị bé nhất của biểu thức khi \(x-3=0\Rightarrow x = 3\)

LG b

\(\) \(B = 2{x^2} + 10x - 1\)

Phương pháp giải:

Sử dụng hằng đẳng thức để đánh giá các biểu thức đã cho.

\(\) \((A+B)^2+m \ge m\) với mọi \(A,\,B.\) Dấu \("="\) xảy ra khi \(A=-B\).

Lời giải chi tiết:

\(\) \( B= 2{x^2} + 10x – 1\)

\(=\displaystyle 2\left( {{x^2} + 5x - {1 \over 2}} \right)\)

\(=\displaystyle 2\left[ {x^2 + 2.{5 \over 2}x + {{\left( {{5 \over 2}} \right)}^2} - {{\left( {{5 \over 2}} \right)}^2} - {1 \over 2}} \right]\)

\(=\displaystyle 2\left[ {{{\left( {x + {5 \over 2}} \right)}^2} - {{25} \over 4} - {2 \over 4}} \right] \)

\(=\displaystyle 2\left[ {{{\left( {x + {5 \over 2}} \right)}^2} - {{27} \over 4}} \right]\)

\(=\displaystyle 2{\left( {x + {5 \over 2}} \right)^2} - {{27} \over 2} \)

Vì \(\displaystyle{\left( {x + {5 \over 2}} \right)^2} \ge 0 \)

\(\displaystyle\Rightarrow 2{\left( {x + {5 \over 2}} \right)^2} \ge 0\)

\( \displaystyle\Rightarrow 2{\left( {x + {5 \over 2}} \right)^2} - {{27} \over 2} \ge  - {{27} \over 2}\)

\( \displaystyle\Rightarrow B \ge -{{27} \over 2}\).

Vậy \( B=\displaystyle  - {{27} \over 2}\) là giá trị nhỏ nhất khi \(\displaystyle { {x + {5 \over 2}} }=0\Rightarrow  x = \displaystyle - {5 \over 2}\)

LG c

\(\) \(C = 5x - {x^2}\)

Phương pháp giải:

Sử dụng hằng đẳng thức để đánh giá các biểu thức đã cho.

\(\) \(m-(A-B)^2 \le m\) với mọi \(A,\,B.\) Dấu \("="\) xảy ra khi \(A=B\).

Lời giải chi tiết:

\(\) \( C= 5x - {x^2}\) \( =  - ({x^2} - 5x) \)

\(= \displaystyle - \left[ {{x^2} - 2.{5 \over 2}x + {{\left( {{5 \over 2}} \right)}^2} - {{\left( {{5 \over 2}} \right)}^2}} \right]\)

\( =\displaystyle  - \left[ {{{\left( {x - {5 \over 2}} \right)}^2} - {{25} \over 4}} \right]\)

\( = \displaystyle - {\left( {x - {5 \over 2}} \right)^2} + {{25} \over 4}\)

Vì \(\displaystyle{\left( {x - {5 \over 2}} \right)^2} \ge 0 \)

\(\Rightarrow  - \displaystyle{\left( {x - {5 \over 2}} \right)^2} \le 0 \)

\(\Rightarrow  - \displaystyle {\left( {x - {5 \over 2}} \right)^2} + {{25} \over 4} \le {{25} \over 4}\)

\( \Rightarrow C \le \displaystyle {{25} \over 4}\).

Vậy \( C=\displaystyle {{25} \over 4}\) là giá trị lớn nhất khi \(\displaystyle x - {5 \over 2}=0 \Rightarrow x = \displaystyle{5 \over 2}\)