Bài 8 trang 80 SBT toán 8 tập 1

Đề bài

Tứ giác \(ABCD\) có \(\widehat A = {110^0},\)\(\widehat B = {100^0}.\) Các tia phân giác của các góc \(C\) và \(D\) cắt nhau ở \(E.\) Các đường phân giác của các góc ngoài tại các đỉnh \(C\) và \(D\) cắt nhau ở \(F.\) Tính \(\widehat {CED},\widehat {CFD}\)

Lời giải chi tiết

Vì DE là phân giác góc ADC nên \(\widehat {{D_1}} = \dfrac{1}{2}\widehat D\)

Vì CE là phân giác góc BCD nên \(\widehat {{C_1}} = \dfrac{1}{2}\widehat C\)

Trong tứ giác \(ABCD,\) ta có:

\( \widehat A + \widehat B + \widehat C + \widehat D = {360^0} \) (tổng 4 góc trong tứ giác)

\(\eqalign{
& \Rightarrow \widehat C + \widehat D = {360^0} - \left( {\widehat A + \widehat B} \right) \cr 
& = {360^0} - \left( {{{110}^0} + {{100}^0}} \right) = {150^0} \cr 
& {\widehat D_1} + {\widehat C_1} = {{\widehat C + \widehat D} \over 2} = {{{{150}^0}} \over 2} = {75^0} \cr} \) 

Trong \(∆CED,\) ta có:

\(\widehat {CED} + {{{\widehat C}_1} + {{\widehat D}_1}} = {180^0} \) (tổng 3 góc trong tam giác)

\(\Rightarrow \widehat {CED} = {180^0} - \left( {{{\widehat C}_1} + {{\widehat D}_1}} \right) \)\(= {180^0} - {75^0} = {105^0}\) 

Vì \(DE\) và \(DF\) là các tia phân giác của hai góc kề bù nên \(DE ⊥ DF\) (tính chất tia phân giác của hai góc kề bù)

\(\Rightarrow \widehat {EDF} = {90^0}\)

Vì \(CE\) và \(CF\) là các tia phân giác của hai góc kề bù nên \(CE ⊥ CF\) (tính chất tia phân giác của hai góc kề bù)

\( \Rightarrow \widehat {ECF} = {90^0}\)

Trong tứ giác \(CEDF,\) ta có:

\(\widehat {CED} + \widehat {EDF} + \widehat {CFD} + \widehat {ECF} = {360^0} \) (tổng 4 góc trong tứ giác)

\(\Rightarrow \widehat {CFD} = {360^0} - \left( {\widehat {CED} + \widehat {EDF} + \widehat {ECF}} \right)\)
\(\widehat {CFD} = {360^0} - \left( {{{105}^0} + {{90}^0} + {{90}^0}} \right)\)\(=360^0-285^0 = {75^0} \)