Giải bài 8 trang 33 Chuyên đề học tập Toán 11 Cánh diều

Đề bài

Cho hai đường tròn (O₁; R) và (O₂; 2R) tiếp xúc ngoài với nhau tại điểm A. Tìm phép vị tự biến đường tròn (O₁; R) thành đường tròn \(({O_2};{\rm{ }}2R).\)

Lời giải chi tiết

Hai đường tròn (O₁; R) và (O₂; 2R) tiếp xúc ngoài với nhau tại điểm A và đường tròn tâm O₂ có bán kính gấp 2 lần đường tròn tâm O₁.

- Trên đường tròn \(({O_1};{\rm{ }}R)\) lấy điểm B bất kì.

- Trên đường tròn \(({O_2};{\rm{ }}2R)\) dựng đường kính CD // O_1­­B.

- BC cắt O₁O₂ tại E.

+) Ta có: O₁B // CO₂ nên theo định lí Thales có \(\frac{{E{O_2}}}{{E{O_1}}} = \frac{{{O_2}C}}{{{O_1}B}} = \frac{{2R}}{R} = 2\).

Suy ra \(\overrightarrow {E{O_2}}  = 2\overrightarrow {E{O_1}} \) nên ta có phép vị tự tâm E, tỉ số 2 biến điểm O₁ thành điểm O₂.

Như vậy, phép vị tự tâm E, tỉ số 2 biến đường tròn \(({O_1};{\rm{ }}R)\) thành đường tròn \(({O_2};{\rm{ }}2R).\)

+) Nối B với D, ta chứng minh được BD cắt O₁O₂ tại điểm tiếp xúc A của hai đường tròn.

Ta có:  \(\frac{{A{O_2}}}{{A{O_1}}} = \frac{{2R}}{R} = 2\) và A nằm giữa hai điểm O₁ và O₂ nên \(\overrightarrow {A{O_2}}  =  - 2\overrightarrow {A{O_1}} \). Do đó, ta có phép vị tự tâm A, tỉ số – 2 biến điểm O₁ thành điểm O₂.

Như vậy, phép vị tự tâm A, tỉ số – 2 biến đường tròn (O₁; R) thành đường tròn \(({O_2};{\rm{ }}2R)\).

Vậy có 2 phép vị tự biến đường tròn \(({O_1};{\rm{ }}R)\) thành đường tròn \(({O_2};{\rm{ }}2R)\).